[obm-l] Re: [obm-l] Hip�tese de Riemann

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Jun 06, 2004 at 11:43:46AM -0400, FabianoSutter@aol.com wrote:
> Em sua conjetura, Riemann sugeriu uma f�rmula para descrever onde est�o os
> primos. Envolve um certo grupo de n�meros, que se encontram inseridos em um
> plano, e que correspondem a solu��es que tornam uma equa��o igual a zero. S�o
> os zeros da fun��o Zeta.  Traduzindo a hip�tese para a forma did�tica,
> sabemos que os n�meros primos se encontram imersos no U = N, e quem se dispor
> a ceder uma organiza��o desses n�meros, estar� em parte contribuindo para a
> valida��o da equa��o,ou para demonstra��o de falhas na mesma. Sabemos que a
> equa��o j� foi testada at� 10 elev 23 e que a mesma pareceu eficiente,
> atendendo a fun��o.  Algu�m consegue ceder uma explica��o mais did�tica para
> tal fun��o??  Saudadade do tempo em aprendi que n�emro primo � aquele que se
> divide por 1 e por ele mesmo.  Abra�o para a lista.

Antes de mais nada acho muito inadequado voc� pedir "uma explica��o
mais did�tica". A raz�o pela qual voc� pode ter dificuldades em
entender o enunciado da hip�tese de Riemann n�o � a falta de did�tica
de quem explica, � o fato do assunto ser dif�cil e exigir um monte
de pr�requisitos que voc� talvez n�o tenha.

Mas se voc� estiver pedindo uma formula��o elementar para a hip�tese
de Riemann eu posso ajudar. Defina a fun��o de M�bius:
m(n) = (-1)^k se n for o produto de k primos distintos e 
m(n) = 0 se n for m�ltiplo do quadrado de algum primo.
Assim, por exemplo,

m(1) = 1, m(2) = -1, m(3) = -1, m(4) = 0, m(5) = -1, m(6) = 1, ...,
m(349823904823) = 1 (pois 349823904823 = 605933 * 577331), ...,
m(3492348923094823904823) = 0 (pois � m�ltiplo de 3^2), ..., 
m(3492523452348923094823904823) = 1
(pois 3492523452348923094823904823 = (3)*(71)*(443)*(571)*(2818643)*(22997457245249) ), ...

Defina f(n) = m(1) + m(2) + ... + m(n). Assim, por exemplo,
m(6) = 1 - 1 - 1 + 0 - 1 + 1 = -1.

Seja s > 1/2. A hip�tese de Riemann diz que 

lim_{n -> infinito} f(n)/n^s = 0.

Tem mais coisa no livro "Primos de Mersenne...";
h� uma vers�o online do livro na minha home page (www.mat.puc-rio.br/~nicolau)
e voc� pode comprar o livro (em papel) pelo Impa (www.impa.br).

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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