Re: [obm-l] conjectura

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 05.06.04 15:39, Eric at mathfire@ig.com.br wrote:

> Gostaria de saber se alguem da lista
> tem uma ideia para provar a seguinte
> 
> Conjectura: nao existe x real tal que
> [x^n] seja primo para todo inteiro
> positivo n.
> 
> Alguem sabe dizer se isto ja foi demonstrado?
> 
> ( [x^n] eh a parte inteira de x elevado a n)
> 
> [ ]'s
> 
> Eric.
> 
Eu faco uma outra conjectura, um pouco mais forte:
Nao existe nenhum real x > 1 tal que
[x], [x^2], [x^3], ...
sao todos impares.

Essa conjectura implica a sua.

Sabe-se que, para todo x real, exceto por um conjunto de medida nula, a
sequencia (a_n), dada por a_n = {x^n} = parte fracionaria de x^n eh
uniformemente distribuida em [0,1].

Agora, tome x = N + r (N impar e 0 <= r < 1) para o qual {x^n} seja U[0,1].

Se existir n tal que:
x^n = M + s (M impar e 0 <= s < 1)  e  1 <= rM + sx < 2,
entao: x^(n+1) = x*x^n = (N + r)*(M + s) = MN + rM + sx ==>
[x^(n+1)] = MN + 1 = par.

O fato de {x^n} ser U[0,1] torna isso plausivel (pelo menos pra mim), mas
nao consegui formalizar uma demonstracao.

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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