Re:[obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)

["Osvaldo" <1osv1@xxxxxxxxxx>]

Eu tentei, mas acho que errei em algum lugar. Por favor 
encontrem meu erro!

Vou supor que cos possa ser escrito como um polinomio.
cos x = a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n; a_i reais nao 
simultaneamente nulos.

Derivando vem que cos'x = sen x = 
a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)

Da identidade cos^2(x)+sen^2(x)=1 vem:

[a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)]^2+
[a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n]^2 = 1

Logo, temos que 
a_1^2+a_0^2=1 (*)
4.a_2^2+a_1^2=0
.
.
.

n^2.a_(n-1)^2+a_n^2=0

Mais 4.a_2^2+a_1^2=0 em R somente se a_2 e a_1 são 
ambos nulos. logo a_1=0 (**)

Substituindo ** em * eu vejo que a_0^2 deve ser 1 e 
logo que a_0 é 1. 

Acho que isso é uma contradiçao, pois x varre o 
intervalo [a,b] e a!=b. Se assim o for está provado, 
mais acho que devo ter errado em algum lugar, se 
puderem me enviem o erro. Até

> Uma versao um pouco mais dificil:
> 
> Sejam a e b numeros reais com a < b.
> Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x)
> nao eh uma funcao polinomial.
> 
> Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se 
aplica...
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
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> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar 
a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> 

Atenciosamente,

Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado 
Usuário de GNU/Linux


 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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