Re: [obm-l] maio1

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi gente,

Se não me engano, os problemas da olimpíada de maio
deste ano não deveriam (e não devem) ser divulgados
até o fim do mês (há uma data exata marcada, mas não
me lembro qual).

[]'s
Shine

--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> on 15.05.04 17:24, Eduardo Soares at
> soareseduardo@hotmail.com wrote:
> 
> 1)Juliano escreveu 5 números inteiros positivos, não
> necessariamente
> distintos, tais que seu produto seja igual a sua
> soma. quais podem ser os
> números que juliano escreveu?
> 
> Achei esse bonitinho. Aqui vai minha tentativa:
> 
> Os numeros sao (1,1,2,2,2);  (1,1,1,3,3); 
> (1,1,1,2,5).
> 
> 
> Sejam os numeros: a <= b <= c <= d <= e.
> 
> Investiguemos inicialmente o caso: a = b = c = d =
> 1.
> e = 4 + e ==> 
> 0 = 4 ==>
> nao existe solucao nesse caso
> 
> Seja F:N^5 -> N dada por:
> F(a,b,c,d,e) = abcde - a - b - c - d - e
> F(a,b,c,d,e+1) - F(a,b,c,d,e) = abcd - 1 > 0 a menos
> que a = b = c = d = 1.
> No entanto jah vimos que esse caso nao nos
> interessa.
> 
> Isso significa que o produto cresce mais rapido do
> que a soma.
> Ou seja, se existe uma solucao (a,b,c,d,e), entao,
> se aumentarmos qualquer
> coordenada, obteremos uma nova quintupla ordenada
> onde o produto supera a
> soma.
> 
> Observe agora que 1*1*2*2*2 = 1+1+2+2+2 = 8.
> 
> Assim, (1,1,2,2,2) eh uma solucao e, alem disso, se
> aumentarmos qualquer
> coordenada, obteremos uma quintupla que nao eh
> solucao.
> Isso significa que, em qualquer solucao, devemos ter
> a = b = 1.
> Alem disso, se c > 1, entao a unica solucao eh
> (1,1,2,2,2).
> 
> Logo, falta apenas investigar o caso em que a= b = c
> = 1, d > 1.
> Nesse caso, teremos que:
> de = 3 + d + e ==> e | d + 3 ==> d <= e <= d + 3
> 
> e = d ==> 
> d^2 = 3 + 2d ==> 
> d^2 - 2d - 3 = 0 ==>
> d = e = 3
> 
> e = d+1 ==>
> d(d+1) = 4 + 2d ==>
> d^2 - d - 4 = 0 ==>
> nao tem solucao inteira
> 
> e = d+2 ==>
> d(d+2) = 5 + 2d ==>
> d^2 - 5 = 0 ==>
> nao tem solucao inteira
> 
> e = d+3 ==>
> d(d+3) = 6 + 2d ==>
> d^2 + d - 6 = 0 ==>
> d = 2, e = 5
> 
> Logo, achamos as solucoes (1,1,1,3,3) e (1,1,1,2,5)
> 
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
> 
> 



	
		
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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