Re: [obm-l] Números triangulares

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Números triangulares

on 13.05.04 23:59, Alan Pellejero at mathhawk2003@yahoo.com.br wrote:

> Olá amigos,
> tenho um sobre números triangulares:
> Prove que o quadrado de qualquer número ímpar múltiplo de três é a diferença entre dois números triangulares.
>  
> Minha idéia foi usar indução, mas parecia redundante...aliás, no caso da indução, como se deve proceder para não cair em redundância?
> Muito obrigado, 
> [ ]'s 
> Alan Pellejero
>
> Sejam os numeros triangulares (a determinar):
> m(m+1)/2 e (m+p)(m+p+1)/2
>
> Sua diferenca eh:
> (m+p)(m+p+1)/2 - m(m+1)/2 =
> (m^2 + (2p+1)m + p(p+1) - m^2 - m)/2 =
> pm + p(p+1)/2.
>
> Queremos que isso seja da forma (3(2n+1))^2 = 9*(2n+1)^2.
> Ou seja:
> pm + p(p+1)/2 = 9*(2n+1)^2 ==>
> p*(m + (p+1)/2) = 9*(2n+1)*(2n+1)
>
> Uma escolha obvia eh p = 2n+1. 
> Isso implica que: 
> m + (p+1)/2 = 9*(2n+1) ==>
> m + n + 1 = 18n + 9 ==>
> m = 17n + 8 ==>
> m + p = 19n + 9 
>
> Testando:
> (m+p)(m+p+1)/2 = (19n + 9)(19n + 10)/2 = (361n^2 + 361n + 90)/2
> m(m+1)/2 = (17n+8)(17n+9)/2 = (289n^2 + 289n + 72)/2
>
> A diferenca eh igual a:
> (72n^2 + 72n + 18)/2 = 36n^2 + 36n + 9 = 9*(2n+1)^2.
>
> Ou seja, acabamos de provar que:
> (3(2n+1))^2 = (19n+9)(19n+10)/2 - (17n+8)(17n+9)/2.
>
> []s,
> Claudio.