Re: [obm-l] Geometria Plana

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 13.05.04 01:49, boromir at boromir@ajato.com.br wrote:

>> 
>> 1) Dado um círculo de centro O, seja BC uma
>> corda fixa desse círculo, tal
>> que BC  =  90  graus.  Para cada A
>> pertencente ao círculo, constrói-se o
>> quadrado ABMN, exterior ao triângulo ABC.
>> a)  Mostre que a reta AN passa por um ponto
>> fixo.
> AN é perpendicular a AB e portanto a reta AN intersecta o círculo no ponto B´
> diametralmente oposto a B. Como B é fixo B' também é fixo.
> 
> 
>> b)  Determine o lugar geométrico de N.
> Tome o ponto C' diametralmente oposto a C. Os triângulos C'AB e C'AN são
> congruentes (caso LAL no ângulo A) e, portanto C'B = C'N. Como C'B é fixo
> igual ao raio do círculo original vezes metade de sqrt(2), o LG de N é um
> círculo de centro C' e raio igual ao raio docírculo dado vezes sqrt(2).
> 
> 
Acho que isso vale apenas quando A estah sobre o arco BC grande (de 270
graus), Quando A estah sobre o arco pequeno, a congruencia que existe eh CAB
= CAN, de modo que CN = CB, de modo que N percorre um arco de circulo de
raio r*raiz(2) centrado em C.

Alem disso, o LG de N tem descontinuidades, de forma que a descricao mais
correta me parece a seguinte:
Suponha que o circulo eh unitario, que B = (1,0) e que C = (0,1).
Seja A = (cos(t),sen(t)).

0 <= t < Pi/2 ==> A percorre, no sentido anti-horario, o arco de um circulo
centrado em (1,0), com raio = raiz(2), comecando em (1,0) (inclusive)
(correspondente a t = 0) e terminando em (1,2) (exclusive) (correspondente a
t -> Pi/2-).

Pi/2 < t <= 2Pi ==> A percorre, no sentido anti-horario, um arco de circulo
centrado em (0,-1), com raio = raiz(2), comecando em (-1,0) (exclusive)
(correspondente a t -> Pi/2+) e terminando em (1,0) (inclusive)
(correspondente a t = 2Pi)

A descontinuidade em t = Pi/2 acontece por causa da exigencia do quadrado
ABMN ser sempre exterior ao triangulo ABC, de forma que quando A passa por
C, o quadrado muda de orientacao, sofrendo uma reflexao em torno de BC.


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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