RE: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)

[Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

	Eu já havia resolvido este problema e, se não me engano, ele caiu em
uma das provas do Colégio Naval. Porém, ao ler o enunciado fornecido pelo
Victor, eu estranhei a omissão da informação de que o segmento MN que divide
o trapézio em dois outros trapézios equivalentes é paralelo às bases AB e
CD. A fim de garantir que a ausência desta informação não garante a
unicidade do cálculo da medida do segmento MN em função de a e b, eu
formulei uma outra questão para utilizá-la como um contra-exemplo.


Vamos ao enunciado da questão que eu formulei baseando-me no problema
fornecido pelo Victor:

Seja ABCD um trapézio retângulo de bases AB = 1 e CD = 3 e cujo ângulo
interno formado entre o lado BC e a base CD é igual a 60°. Dados os pontos M
e N, pertencentes aos lados não-paralelos, tais que o segmento MN divide
esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN para cada um
dos dois casos apresentados abaixo.

Primeiro caso: MN é perpendicular ao lado BC. (Resposta: sqr(5))
Segundo caso: MN forma um ângulo de 30° com o prolongamento da base AB no
sentido de B para A. (Resposta: sqr(10))


A fim de tentar garantir que as respostas apresentadas estão corretas, eu
desenvolvi mais de uma solução para cada caso, sendo que uma delas foi por
Geometria Analítica.

A resolução apresentada pelo Boromir corresponde a uma das soluções que eu
havia desenvolvido para o problema original, porém ela somente tem validade
se no enunciado for informado que o segmento MN é paralelo às bases AB e CD,
o que não foi o caso do problema proposto pelo Victor. Vamos reformular o
enunciado para que a resolução do Boromir seja válida e, na seqüência, eu
apresentarei uma resolução alternativa.



ENUNCIADO MODIFICADO:

Dado um trapézio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N
pertencentes aos lados não-paralelos. Se o segmento MN é paralelo às bases e
divide esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN em
função dos lados AB = a e CD = b.


RESOLUÇÃO ALTERNATIVA:

Considere CD = b como a base maior e AB = a como a base menor, logo b > a,
MN = x, H a distância entre a AB e MN e h a distância entre MN e CD. Também
considere que o ponto M pertence ao lado DA e o ponto N ao lado BC.

Trace uma paralela ao lado DA passando pelo vértice B do trapézio, de modo a
interceptar o segmento MN no ponto E e a base CD no ponto F. Deste modo,
ABEM e MEFD são paralelogramos, conseqüentemente tem os lados opostos
congruentes. Portanto: ME = AB = a e DF = ME = a.
MN = ME + EN => x = a + EN => EN = x - a
DC = DF + FC => b = a + FC => FC = b - a

Triângulo BEN ~ Triângulo BFC (Critério AA~):
FC/EN = (H + h)/ H => (b - a)/(x - a) = 1 + h/H =>
=> (b - x)/(x - a) = h/H (i)

De acordo com os dados, os trapézios ABNM e MNCD são equivalentes, logo:
S[ABNM] = S[MNCD] => (1/2).(x + a).H = (1/2).(b + x).h =>
=> (x + a)/(b + x) = h/H (ii)

Aplicando a propriedade transitiva nas igualdades (i) e (ii):
(b - x)/(x - a) = (x + a)/(b + x) => x^2 - a^2 = b^2 - x^2 =>
=> 2x^2 = a^2 + b^2 => x = sqr[(a^2 + b^2)/2]

Resposta: MN = sqr[(a^2 + b^2)/2]



Aplicando a fórmula encontrada para resolver o problema do trapézio
retângulo com bases AB = 1 e CD = 3 e <BCD = 60°, apresentado acima,
teremos:
MN = sqr[(1^2 + 3^2)/2] = sqr(10/2) = sqr(5)

Observe que o valor encontrado na aplicação da fórmula coincide com o valor
encontrado no primeiro caso, mas difere do valor encontrado no segundo caso.
Portanto, a informação de que MN é paralelo às bases é necessária para
garantir a unicidade do comprimento de MN em função de a e b, uma vez que
com diferentes inclinações podemos encontrar um valor diferente de sqr[(a^2
+ b^2)/2] para o comprimento do segmento MN.


Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho
Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informação
rogeriom@gmx.net

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of boromir
Sent: sexta-feira, 30 de abril de 2004 01:09
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)

Ajeitei o texto (embora não tenha usado nenhum caracter especial) eu tb
recebi a mensagem truncada.
[]'s MP



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>De:"Fellipe Rossi" <felliperossi@superig.com.br>
>Para:<obm-l@mat.puc-rio.br>
>Assunto:Re: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)
>
>Boromir não consigo entender nada da mensagem
>Talvez voce esteja usando mtos caracteres
>"especiais"...

MEnsagem alterada:

Vamos considerar a < b. Seja ainda P o ponto de encontro dos prolongamentos
dos lados não paralelos DA e CB. Conforme o enunciado, [ABNM]=[NMDB] = S.
([figura] = área do figura)

Vamos considerar [APB]=K.
APB ~ MPN  (razão a/x, onde MN = x). A razão entre as áreas é o quadrado da
razão de semelhança, portanto (K+S)/K = (x/a)^2.

Ainda temos que
APB~DPC (razão a/b), portanto (K+2S)/K = (b/a)^2.

Escrevendo melhor as equações acima, temos:
1 + S/K = x²/a² -> S/K = (x²-a²)/a²
1 + 2S/K = b²/a² -> 2S/K = (b²-a²)/a²

Dividindo a segunda pela primeira equação temos:
2(x²-a²) = b²-a²
2x²=b²+a²
x = SQRT{(a²+b²)/2}

Se eu não errei as contas acho que é isso.
[]'s MP


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Em Ter, 2004-04-27 às 18:42, Victor Machado escreveu:

Bom, esta questão foi um desafio para mim, não sei para os senhores:

Dado um trapézio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N
pertencentes aos lados não-paralelos. Se o segmento MN divide esse trapézio
em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN em função dos lados AB = a
e CD = b.

Victor.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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