[obm-l] OIMU-1998

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: OIMU-1998

Seguindo a sugestao do Dirichlet, aqui vai a primeira questao da primeira Ibero Universitaria:

OIMU-1998  Problema 1 (4 puntos)

Las integrales definidas entre 0 y 1 de los cuadrados de las funciones reales continuas f(x) y g(x) son iguales a 1. Demuestre que existe un número real c tal que

f(c) + g(c) <= 2.

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Suponhamos que f(x) + g(x) > 2, para todo x em (0,1).

Entao, (f(x) + g(x))^2 = f(x)^2 + g(x)^2 + 2*f(x)*g(x) > 4.

Integrando de 0 a 1, obtemos:
Int(0..1) (f(x)^2 + g(x)^2 + 2*f(x)*g(x))*dx > Int(0..1) 4*dx ==>
1 + 1 + 2*Int(0..1) f(x)*g(x)*dx > 4 ==>
Int(0..1) f(x)*g(x)*dx > 1

Mas tambem: 
(f(x) - g(x))^2 = f(x)^2 + g(x)^2 - 2*f(x)*g(x) >= 0 para todo x em (0,1).

Logo, Int(0..1) (f(x)^2 + g(x)^2 - 2*f(x)*g(x))*dx >= 0 ==>
1 + 1 - 2* Int(0..1) f(x)*g(x)*dx >= 0 ==>
Int(0..1) f(x)*g(x)*dx <= 1 ==>
contradicao ==>
existe c em (0,1) tal que f(c) + g(c) <= 2.


[]s,
Claudio.


on 26.04.04 17:15, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:

> Ola turma!!!Que tal a gente fazer umas questoes da IObero Universitaria so para se divertir?Vou tentar inaugurar o site com elas!Quem quiser tem no site da OBM, e tem a primeirona em
>
> http://olimpia.uanarino.edu.co/oimu/oimu.htm
>
> Qualquer coisa estamos ai!
> Ass.:Johann