Re: [obm-l] DUVIDA - Primo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 24.04.04 22:55, fabio@dias.moreira.nom.br at fabio@dias.moreira.nom.br
wrote:

>> Alguem pode me dar uma ajuda nesta questão:
>> 
>> Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...).
>> Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n)
>> possui um numero infinito de elementos.
>> [...]
> 
> Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n)
> contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem
> N naturais compostos consecutivos.
> 
> []s,

Pegando um gancho na ideia do Fabio: um conjunto de inteiros positivos eh
infinito se e somente se eh ilimitado. Assim, dado um inteiro positivo n
qualquer, precisamos mostrar que existem primos consecutivos p e q tais que
q - p > n.

Por exemplo, sejam:
p = maior primo que eh menor do que (n+1)! + 2;
q = menor primo que eh maior do que (n+1)! + (n+1).
Como (n+1)! + 2, (n+1)! + 3, ..., (n+1)! + (n+1) sao n numeros compostos
consecutivos, temos que q - p > n e que, se p < m < q, entao m eh composto.

Pra essa ideia funcionar, eh preciso que exista uma infinidade de primos,
mas isso pode ser provado independentemente (alem da demonstracao
ultra-tradicional de Euclides, a qual jah foi amplamente discutida aqui na
lista, uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivos
distintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1  e  2^(2^n) + 1 sao primos entre si)


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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