RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!

[=?utf-8?Q?Rog=C3=A9rio_Moraes_de_Carvalho?= <rogeriom@xxxxxxx>]

Olá Daniel,

	Muitos dos problemas que envolvem expressões com radicais duplos podem ser resolvidos facilmente quando são realizadas as reduções para expressões com radicais simples equivalentes. Existe uma fórmula para a redução, mas o importante é entender como deduzi-la, pois o raciocínio é muito simples.

Redução de radicais duplos em radicais simples equivalentes
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Dada a expressão com radicais duplos √(a + √b), com a e b racionais, √b irracional e a + √b positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais positivos tais que: √(a + √b) = √x1 + √x2.

Observe que de acordo com as condições dadas, ambos os membros da igualdade são positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro membro da igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo que a volta continua válida.
[√(a + √b)]² = (√x1 + √x2)²
a + √b = x1 + 2√x1√x2 + x2
a + √b = (x1 + x2) + √(4.x1.x2)

Sendo a, b, x1 e x2 racionais e √b irracional, a igualdade somente vai ser verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b <=> x1.x2 = b/4

Portanto, x1 e x2 são raízes da seguinte equação quadrática:
x² - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 <=> x² - ax + b/4 = 0

Calculando o discriminante, encontramos:
Δ = (-a)² - 4.1.(b/4) <=> Δ = a² - b

Sendo assim, a nossa expressão somente poderá ser reduzida a radicais simples se o discriminante (a² - b) for um quadrado de um racional. Se esta condição for satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + √(a² - b)] / 2 = [a + √(a² - b)] / 2
x2 = [-(-a) - √(a² - b)] / 2 = [a - √(a² - b)] / 2
Ou vice-versa.

Conclusão:
A expressão com radicais duplos √(a + √b), com a e b racionais, √b irracional e a + √b positivo, pode ser transformada em uma expressão com radicais simples quando a² - b for um quadrado de um racional. A transformação é dada pela seguinte fórmula:
√(a + √b) = √{[a + √(a² - b)] / 2} + √{[a - √(a² - b)] / 2}

Analogamente, podemos demonstrar que a expressão com radicais duplos
√(a - √b), com a e b racionais, √b irracional e a - √b positivo, pode ser transformada em uma expressão com radicais simples quando a² - b for um quadrado de um racional. A transformação é dada pela seguinte fórmula:
√(a - √b) = √{[a + √(a² - b)] / 2} - √{[a - √(a² - b)] / 2} 


Resolução do problema proposto:
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Simplifique a expressão:
(2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + (2 - √3) / [√2 - √(2 - √3)]

Vamos verificar se é possível reduzir as expressões com radicais duplos para expressões com radicais simples.
Na expressão √(2 + √3), temos a = 2 e b = 3. Como a² - b = 4 - 3 = 1, que é o quadrado de um racional (1 = 1²), a transformação é possível.
√(2 + √3) = √[(2 + 1) / 2] + √[(2 - 1) / 2] = √(3/2) + √(1/2) = √3/√2 + 1/√2
Analogamente, teremos:
√(2 - √3) = √3/√2 - 1/√2

Logo:
(2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + (2 - √3) / [√2 - √(2 - √3)] =
= (2 + √3) / [√2 + (√3/√2 + 1/√2)] + (2 - √3) / [√2 - (√3/√2 - 1/√2)] =
= (2 + √3) / [(2 + √3 + 1)/√2] + (2 - √3) / [(2 - √3 + 1)/√2] = 
= √2(2 + √3) / (3 + √3) + √2(2 - √3) / (3 - √3) = 
= [√2(2 + √3)(3 - √3) + √2(2 - √3)(3 + √3)] / [(3 + √3) (3 - √3)] =
= [√2(6 - 2√3 + 3√3 - 3) + √2(6 + 2√3 -3√3 - 3)] / (9 - 3) =
= √2[(3 + √3) + (3 - √3)] / 6 = 6√2 / 6 = √2

Portanto, a expressão simplificada é igual a √2.

Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Daniel Silva Braz
Sent: quarta-feira, 14 de abril de 2004 23:18
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!

corrigindo o primeiro problema...mandei o problema
errado...

(2 + sqr(3)) / (sqr(2) + sqr(2 + sqr(3))) + (2 -
sqr(3)) / (sqr(2) - sqr(2 - sqr(3)))

Daniel S. Braz

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