Re: [obm-l] Funções

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

> 
>> 2)SEJA f:[a,b] -> [a,b] QUALQUER . MOSTRE QUE EXISTE
>> X 
>> PERTENCENTE A [a,b] TAL QUE f(X) = X.
> Isto eh verdade se f for continua em [a, b]. Se nao
> for, a afirmacao eh falsa.
> Assumindo-se continuidade de f, definamos g:[a,b] -> R
> por g(x) = x - f(x). Entao, g eh continua e apresenta
> a propriedade do valor intermediario. Como f(x) estah
> em [a,b] para todo x em [a,b], temos que g(a) =  a
> -f(a) <=0 e g(b) = b - f(b) >=0. Se em uma destas
> desigualdades tivermos igualdade, entao a condicao
> desejada eh automaticamente atendida em a ou em b.
> Caso contrario, g(a) <0, g(b)>0 e a continuidade de g
> implica a existencia de algum x em (a,b) para o qual
> g(x) =0, o que equivale a f(x) = x. Assim, em qualquer
> caso existe x em [a,b] para o qual f(x) =x.
> 
A continuidade de f eh uma condicao suficiente para f ter um ponto fixo,
apesar de nao ser necessaria (basta tomar f(a) = a, e para a < x <= b,
f(x) = a, se x eh racional e f(x) = b se x eh irracional ==> f tem um ponto
fixo apesar de ser descontinua em todo ponto de [a,b]).

Uma outra condicao suficiente eh a de que f seja monotona, ou seja:
para todos x e y em [a,b], x <= y ==> f(x) <= f(y)
(monotona nao-decrescente)
ou
para todos x e y em [a,b], x <= y ==> f(x) >= f(y)
(monotona nao-crescente)

Alguem consegue demonstrar isso?
Dica (para o caso de f ser nao-decrescente): Se f(a) = a, entao acabou. Caso
contrario, seja s = supremo de {x em [a,b] | f(x) < x}. Quem eh f(s)?

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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