Caro "J.P.G.L. Dirichlet",
Eu estive pensando sobre o seu problema e provarei um caso particular,
admitindo que o quadrilátero cíclico seja um quadrado e M seja um ponto
qualquer do primeiro quadrante e no interior desse quadrado. A demonstração
para M nos outros quadrantes é análoga, portanto omitirei. No caso mais
geral de um quadrilátero cíclico qualquer, não será muuuuito difícil provar,
talvez um pouco trabalhoso, mas como você ama trigonometria, vai adorar...
Suponhamos que M tenha coordenadas (x;y). Imaginando um quadrado inscrito na
circunferência de equação x^2 + y^2 = r^2, a projeção ortogonal de M em BC
gera F e em AD gera H; o ponto médio de FH será o ponto P(0;y). A projeção
ortogonal de M em AB gera o ponto E e em CD gera o ponto G; o ponto médio de
EG será o ponto Q(x,0). Agora, lembremo-nos de que as diagonais do quadrado
estão contidas nas bissetrizes dos quadrantes pares e ímpares de equações,
respectivamente, x + y = 0 e x - y = 0. A projeção ortogonal de M em BD gera
o ponto L(a,a) e em AC o ponto K(-b,b); para descobrimos tais coordenadas,
levamos em conta que a distância entre os pontos M e L será igual à
distância do ponto M à reta bissetriz dos quadrantes ímpares;
semelhantemente, a distância entre os pontos M e K será igual à distância do
ponto M à reta bissetriz dos quadrantes pares. Assim:
sqrt((x - a)^2 + (y - a)^2) = |x - y|/sqrt(2)
e
sqrt((x + b)^2 + (y - b)^2) = |x + y|/sqrt(2)
Desenvolvendo essas equações e resolvendo para 'a' e 'b', obteremos:
a = (x + y)/2 e b = (y - x)/2
Portanto, L((x + y)/2 ; (x + y)/2) e K((x - y)/2 ; (y - x)/2).
O ponto médio de KL será o ponto R(x/2 ; y/2).
Calculando o determinante da matriz correspondente aos pontos P, Q e R:
| x 0 1 | | 1 0 1 |
| 0 y 1 | = xy | 0 1 1 |
| x/2 y/2 1 | | 1/2 1/2 1 |
Pelo teorema de Jacobi, podemos multiplicar a terceira linha por 2 e
subtrair da primeira linha:
| 0 1 1 |
xy | 0 1 1 | = 0
| 1/2 1/2 1 |
Tínhamos, assim, uma das linhas da matriz como combinação linear de outras
duas; sabemos que quando duas filas paralelas são iguais o determinante é
nulo. Logo, se o determinante é nulo, os pontos são colineares, conforme
queríamos demonstrar.
É claro que a solução foi facilitada, pois conhecíamos de antemão as retas
que contêm as diagonais do quadrado, as coordenadas dos pontos P e Q,
enfim... Tudo isso terá de ser esquecido para um quadrilátero cíclico
qualquer e aí está a parte trabalhosa. Ressalto que esta foi apenas uma
sugestão, em que aproveitei para demonstrar um caso particular desse
teorema.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
----- Original Message -----
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, March 22, 2004 8:04 PM
Subject: [obm-l] Quadrilatero ciclico
ABCD é um quadrilátero cíclico. M é um ponto qualquer. E, F, G, H, K, L são
as projeções de M em AB, BC, CD, DA, AC, BD, respectivamente. Prove que os
pontos médios de EG, FH, KL são colineares.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
Fields Medal(John Charles Fields)