Re: [obm-l] Progressão

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

Daniel Silva Braz wrote:

> Prove que os termos de uma P.A. qq em que 0 não
> participa verificam a relação:
> 1/a1a2 + 1/a2a3 + 1/a3a4 + ... + 1/(an-1)an =
> (n-1)/a1an

	Por indução, pra n=1:

	1/a1a2=(2-1)/a1a2 (ok)

	Supondo válido para an:

{1/a1a2 + 1/a2a3 + 1/a3a4 + ... + 1/(an-1)an} + 1/an(an+1) =
(n-1)/a1an + 1/an(an+1)=
1/an*( (n-1)/a1 + 1/(an+1) )=
1/an*( (n-1)*(an+1)/a1(an+1) + a1/a1(an+1) )=
1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*(an+1) + a1)

	Mas:

	 a1 = a1+0*k
	 a2 = a1+1*k
	 a3 = a1+2*k
	...
	 an   = a1+(n-1)*k
	 an+1 = a1+n*k

1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*(a1+n*k) + a1) =
1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*a1+n(n-1)*k) + a1) =
1/(a1.an.an+1)* (n*a1+n(n-1)*k) =
n/(a1.an.an+1)* (a1+(n-1)*k)=
n/(a1.an.an+1)* an=
n/a1an+1=
((n+1)-1)/a1an+1  (ok)

	Tendo a base e passo indutivo ok, então a
proposição é verdadeira.

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br           "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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