Re: [obm-l] Um limite meio chato

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 01.04.04 02:19, Ricardo Bittencourt at ricbit@700km.com.br wrote:

> Claudio Buffara wrote:
>> Voce estah dizendo que, se eu quiser aproximar sen(x) em algum intervalo
>> pequeno em torno de x = 0 por meio de um polinomio de grau 5, digamos, uma
>> interpolacao usando minimos quadrados vai resultar no polinomio:
>> p(x) = x - x^3/6 + x^5/120 ?
>> Me desculpe, mas eu acho dificil de acreditar.
> 
> Fiz o teste no matlab. Os resultados não foram exatos,
> mas eu não sei dizer se é erro de aproximação do programa
> ou se o polinômio é aproximado mesmo. Polyfit no matlab implementa
> os mínimos quadrados:
> 
>>> xx=-1e-2:1e-6:1e-2;

Eu nao conheco o Matlab. Isso quer dizer que voce criou uma "amostra" de
20001 vetores (xx,sen(xx)) com xx variando de -1/100 a 1/100 em intervalos
de 1/10^6?
 
>>> yy=sin(xx);
>>> polyfit(xx,yy,3)
> 
> ans =
> 
> -0.1667    0.0000    1.0000   -0.0000
> 
>>> polyfit(xx,yy,5)
> 
> ans =
> 
> 0.0083   -0.0000   -0.1667    0.0000    1.0000    0.0000
> 
Entao, deixe-me reformular:

Ao fazer a aproximacao de sen(x) por um polinomio de grau m no intervalo
[-a,a] (a > 0) via minimos quadrados, a partir de uma amostra de n pontos
igualmente espacados, o que eu acho que acontece eh o seguinte: quando n ->
infinito, os coeficientes do polinomio tendem aos coeficientes
correspondentes dos termos de grau <= m da serie de Taylor de sen(x) em
torno de x = 0. Alias, acho que isso vale pra qualquer funcao infinitamente
diferenciavel e nao apenas sen(x).

Por outro lado, para todo n finito, acho que os coeficientes do polinomio
soh serao exatamente iguais aos da serie de Taylor da funcao se esta for uma
funcao polinomial, apesar de se aproximarem destes a medida que n cresce.

Verifique os coeficientes acima com precisao grande o suficiente e acho que
voce vai ver que eles nao sao exatamente iguais a 1/120, 0, -1/6, 0, 1, 0,
mas com certeza devem ser proximos o suficiente para 99% das aplicacaoes
praticas.

Eu digo isso porque tem um teorema que diz que se uma sequencia de
polinomios definidos num intervalo fechado tende a um limite que nao eh uma
funcao polinomial, entao o grau dos polinomios da sequencia tende a
infinito.

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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