Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Mar 27, 2004 at 01:27:51PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
> Algum feliz proprietario de um Maple ou similar poderia me dar os valores dos 
> somatorios de k^6 e k^8? Em ambos, k varia de 1 ate n.
> Antecipadamente grato.
> Morgado
> OBS: Eu sei calcular os somatorios, so quero as respostas.

Outros já responderam a pergunta do Morgado, então eu vou responder
a pergunta que o Morgado *não* fez, que é como calcular estas coisas *sem*
usar o Maple. Estou quase copiando a seção 6.5 do Matemática Concreta,
de Graham, Knuth e Patashnik que fala de números de Bernoulli.

Escreva S_m(n) = 0^m + 1^m + ... + (n-1)^m.
Não é difícil provar que

S_m(n) = (1/(m+1)) SOMA_{0 <= k <= m} binomial(m+1,k) B_k n^{m+1-k}

onde B_k são os números de Bernoulli, com valores iguais a
1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, ...
e que podem ser definidos por

z/(e^z - 1) = SOMA_{n >= 0} B_n z^n/n!.

Usando a fórmula para S_m, não é difícil montar uma tabela de coeficientes.

S_0(n) = n
S_1(n) = 1/2 n^2 - 1/2 n
S_2(n) = 1/3 n^3 - 1/2 n^2 + 1/6 n
S_3(n) = 1/4 n^4 - 1/2 n^3 + 1/4 n^2 + 0 n
S_4(n) = 1/5 n^5 - 1/2 n^4 + 1/3 n^3 + 0 n^2 - 1/30 n
S_5(n) = 1/6 n^6 - 1/2 n^5 + 5/12 n^4 + 0 n^3 - 1/12 n^2 + 0 n

Em cada coluna, os coeficientes são dados por uma fórmula bem simples:
uma constante misteriosa (o número de Bernoulli) vezes um binomial.
Por exemplo, o coeficiente de n^(m+1) é 1/(m+1), o de n^m é -1/2,
o de n^(m-1) é (1/(m+1)) binomial(m+1,2) B_2 = m/12, o de n^(m-2) é 0,
o de n^(m-3) é (1/(m+1)) binomial(m+1,4) B_4 = -m(m-1)(m-2)/720
e o de n^(m-4) é 0. Ajuda muito saber que B_n = 0 para n ímpar e maior que 1.
Mas o fato é que esta tabela triangular nos dá a cada passo o novo B_n,
basta usar o fato óbvio que S_m(1) = 0 para m > 0.

[]s, N.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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