| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Fri, 26 Mar 2004 00:22:20 +0000 |
| Assunto: |
[obm-l] algebra linear |
> Prove que toda matriz n x n é limite de uma seqüência de matrizes
> invertíveis n x n.
>
Seja A a matriz dada.
Entao existe uma matriz n x n invertivel P tal que T = P*A*P^(-1), onde T é triangular superior (com coeficientes possivelmente complexos - estou supondo que os coeficientes de A pertencem a algum subcorpo dos complexos, apesar do resultado valer em qualquer subcorpo de um corpo algebricamente fechado).
Seja (d_1, d_2, ..., d_n) a diagonal de T.
Seja r um numero positivo menor do que o valor absoluto de cada d_i nao nulo.
Entao, a matriz T_n cuja diagonal eh (d_1 + r/n, d_2 + r/n, ..., d_n + r/n) e cujos outros elementos sao iguais aos elementos correspondentes de T eh inversivel (jah que nenhum elemento da diagonal eh igual a zero) e eh tal que:
lim(n -> infinito) T_n = T.
Agora, defina a sequencia (A_n) por:
A_n = P^(-1)*T_n*P.
Como T_n e P sao inversiveis, A_n tambem serah.
Alem disso, lim(n -> infinito) A_n = A.
[]s,
Claudio.