RE: [obm-l] Compacidade

[Tertuliano Carneiro <tertuca@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Artur!

 

O problema pode ser reformulado assim, se desejar: Seja X espaço métrico. Se para toda função contínua f :X em (0,infinito)  positiva  com    inf > 0, entao X eh compacto.

Acho q isso pode resolver o problema:

 

 Sendo X compacto, X eh completo e totalmente limitado. Se X não for compacto, então ou X não eh completo ou X não eh totalmente limitado. No primeiro caso, seja (x_n) uma sequencia de Cauchy convergindo para um ponto p do completamento de X, com p fora de X. Tome a funçao f : X em R+  dada por f(x) = d(p,x). Como vc deve saber, f eh continua. Mas, sendo (x_n) convergente a p, inf {f(x)} = inf {d(x,p)} = 0, o q eh uma contradição.

Bom, ainda nao consegui o caso em q X nao eh totalmente limitado.

 

Tertuliano  

Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:

> Oi Tertuliano
> Nao entendi bem o enunciado do primeiro problema. Voce quis mesmo dizer inf
> {f(x)}?
>
>
>
> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of Tertuliano Carneiro
> Sent: Friday, March 19, 2004 5:32 PM
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Compacidade
>
> Olá para todos!
> Aí vão alguns problemas, q jah estão virando pesadelo!
> 1) Seja f > 0 uma função real contínua definida em um espaço métrico X e tal
> q inf {f(x)} > 0, para todo x em X. Mostre q X eh compacto.
>  
> Grato por qualquer solução e/ou comentário.  
>       
>   
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