[obm-l] Eisenstein Generalizado

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Ontem vi a demonstracao de um resultado que eu nao conhecia: uma
genaralizacao do criterio de Eisenstein para polinomios irredutiveis.
O enunciado eh o seguinte:

Seja f(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n um polinomio em Z[x].
Suponhamos que exista um primo p tal que:
a) p divide a_0, a_1, ..., a_(n-1);
b) p nao divide a_n;
c) existe um inteiro positivo r tal que p^r divide a_0 mas p^(r+1) nao
divide a_0.
Entao, f(x) tem no maximo r fatores irredutiveis em Q[x].

Demonstracao:
Considerando o polinomio f(x) modulo p, teremos que:
f(x) == a_0*x^n (mod p).

Como p nao divide a_0, existirah um inteiro b tal que b*a_0 == 1 (mod p).
Logo, podemos escrever:
b*f(x) == x^n (mod p).

Suponhamos que b*f(x) tenha k fatores irredutiveis em Z[x]:
f_1(x), f_2(x), ..., f_k(x).

Assim, b*f(x) = f_1(x)*f_2(x)*...*f_k(x)

A condicao (c) do enunciado implica que f_i(0) <> 0 para cada i pois, caso
contrario, a_0 seria igual a 0 e p^j dividiria a_0 para cada inteiro
positivo j.

Reduzindo modulo p, teremos:
x^n == f_1(x)*f_2(x)*...*f_k(x)  (mod p)

Isso significa que cada f_i (1 <= i <= k) serah tal que:
f_i(x) == x^e(i) (mod p), onde:
e(i) >= 1 (1 <= i <= k)   e   e(1) + e(2) + ... + e(k) = n.
 
Voltando a Z[x], teremos que, para 1 <= i <= k:
f_i(x) = x^e(i) + p*x*g_i(x) + p*c_i,
onde, para 1 <= i <= k:
g_i(x) eh um polinomio nao nulo de grau inferior a e(i) - 1;
c_i = f_i(0)/p <> 0.

Multiplicando os f_i(x), obteremos:
b*f(x) = x^n + p*x*g(x) + p^k*c_1*...*c_k,
onde:
g(x) = polinomio de grau inferior a n - 1.

Isso implica que:
b*f(0) = p^k*c_1*...*c_k ==>
p^k divide b*f(0) ==>
(como b eh primo com p) p^k divide f(0) = a_0 ==>
k <= r ==>
b*f(x) tem no maximo r fatores irredutiveis em Z[x] ==>
(pelo lema de Gauss) f(x) tem no maximo r fatores irredutiveis em Q[x].

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Em particular, fazendo r = 2 no teorema acima, obteremos o criterio de
Eisenstein tradicional.


[]s,
Claudio.


  


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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