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Re: [obm-l] Números complexos como matriz
--- Claudio Buffara
<claudio.buffara@terra.com.br> escreveu: > on
18.03.04 14:25, Johann Peter Gustav Lejeune
> Dirichlet at
> peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:
>
> Neste caso I e a identidade, certo?
> Sim.
>
> Assim sendo, fazendo essa coisa classica, fica
> algo como
> (a+bi)^1999=1999.Podemos tentar escrever na
> forma trigonometrica, levando
> alguns fatos em conta...
> Que fatos?
Por exemplo, o modulo do complexo e
(1999)^(1/1999).Agora se a+bi=r*e^(it),
r=(a^2+b^2)^(1/2), podemos continuar a conta e
tornar a questao trivial...
>
> Alias,
> 1)O que e OMMS?
> Olimpiada de Matematica de Muricapeba da Serra.
>
> 2)Como e que se escreve a forma trigonometrica
> de uma matriz?
> Se:
> a + bi = R*(cos(t) + i*sen(t))
> entao:
> a -b = R*cos(t) -R*sen(t)
> b a R*sen(t) R*cos(t)
>
> Engracado que voce tenha se interessado pelo
> problema e o nao o Rafael, jah
> que foi ele que originou toda a discussao...
Na verdade eu ja tinha visto algo parecido antes
quando era necessario saber quais naturais eram
expressiveis como soma de n quadrados.Para n=2
podemos usar esse fato e um pouco de TN para
achar os cabras...E uma forma modificada de
inteiros de Gauss, por assim dizer.
E tambem da para modificar um pouco e usar
quaternions para verificar o caso n=4.
>
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
> wrote:
> Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra
> mostrar a utilidade e o poder
> desse conceito de isomorfismo, tente resolver
> este problema que caiu na OMMS
> em 1999:
>
> Seja M o conjunto de todas as matrizes da
> forma:
> a -b
> b a
> onde a e b sao numeros reais.
>
> Determine todas as matrizes A pertencentes a M
> tais que A^1999 = 1999*I.
>
> []s,
> Claudio.
>
> on 17.03.04 21:51, Claudio Buffara at
> claudio.buffara@terra.com.br wrote:
>
> > on 17.03.04 22:11, Rafael at
> cyberhelp@bol.com.br wrote:
> >
> >> Pessoal,
> >>
> >> Eu estava lendo que existe um estudo sobre
> números complexos, no qual um
> >> número complexo z = a + bi pode ser tratado
> como uma matriz quadrada 2x2 da
> >> forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 =
> a. Todas as propriedades dos
> >> números complexos poderiam ser obtidas
> através de matrizes, resultando em
> >> processos que transformam as características
> geométricas dos números
> >> complexos em algo simples.
> >>
> >> Até agora, notei que a raiz quadrada do
> determinante da matriz é o módulo de
> >> z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como
> se chama esse estudo?
> >>
> > Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso
> entre dois corpos (conjuntos
> > munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas
> regras que, digamos, o conjunto
> > dos racionais com adicao e multiplicacao).
> >
> > Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma
> bijecao f: A -> B tal que f(x+y) =
> > f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer
> x, y em A.
> >
> > No seu caso, A = corpo dos complexos, munido
> das duas operacoes usuais -
> > adicao e multiplicacao) e B = corpo das
> matrizes reais 2x2 da forma descrita
> > acima, munido das operacoes de adicao e
> multiplicacao de matrizes.
> >
> > Por e! xemplo, o polinomio caracteristico da
> matriz:
> > a -b
> > b a
> > eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2.
> > Uma das raizes eh justamente a + bi.
> >
> > A existencia desse isomorfismo diz que, para
> todos os efeitos, pelo menos
> > quanto ao comportamento algebrico dos seus
> elementos, A e B sao "o mesmo"
> > corpo.
> >
> > []s,
> > Claudio.
>
>
>
>
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