Re: [obm-l] Somatório da função

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

David M. Cardoso wrote:

>>> Soma[i^2] = n(n+1)(2n+1)/6
> Na verdade eu só entendi pq abstraí isso... e isso eu não entendi.

	Acho que a maneira mais fácil de derivar isso
é considerar o problema de calcular sum(1,n)[i^3]

	Quanto dá sum(1,n+1)[i^3]? Certamente vale
sum(1,n)[i^3]+(n+1)^3. Por outro lado, a gente pode
mudar o índice sem mudar a soma:

	sum(1,n+1)[i^3]=sum(0,n)[(i+1)^3]=
	sum(0,n)[i^3+3*i^2+3*i+1]=
	sum(0,n)[i^3]+3*sum(0,n)[i^2]+3*sum(0,n)[i]+n

	Notando que 3*sum(0,n)[i]=3*n*(n+1)/2,
e ainda que sum(0,n)[i^3]=sum(1,n)[i^3], juntando tudo
temos:

sum(1,n)[i^3]+(n+1)^3=sum(1,n)[i^3]+3*sum(0,n)[i^2]+3*n*(n+1)/2+n

	O sum(1,n)[i^3] morre dos dois lados, então sobra

	(n+1)^3=3*sum(0,n)[i^2]+3*n*(n+1)/2+n
	3*sum(0,n)[i^2]=n^3+3*n^2+3n+1-3n^2/2-3n/2+n
	3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+3n-3n/2-3/2+1)
	3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+(6n-3n)/2+(-3/2+2/2))
	3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+3n/2-1/2)
	3*sum(0,n)[i^2]=n*(2n^2/2+3n/2-1/2)
	3*sum(0,n)[i^2]=n*(2n^2+3n-1)/2
	3*sum(0,n)[i^2]=n*(n+1)(2n+1)/2

	e por fim

	sum(0,n)[i^2]=n*(n+1)(2n+1)/6

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br           "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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