Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência

[Faelccmm@xxxxxxx]

Para o Nicolau ou quem souber,

Duas duvidas remanescentes:

1) O MAPLE reconhece apenas 1 polinomio para alguns termos iniciais de uma sequencia ? Pois a sequencia 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, pode ser interpretada como a sequencia dos primos, certo ? Mas o MAPLE viu uma logica diferente, tanto que continuou a sequencia com outros numeros. Nisso inicia minha segunda duvida:

2) Dado o polinomio ...

p = (457 x^10 - 27505 x^9  + 720240 x^8  - 10767210 x^7  + 101334261 x^6
- 624137745 x^5 + 2531800010 x^4  - 6626433140 x^3  + 10602193032 x^2
- 9233344800 x + 3265920000)/3628800. 

... Por que ele (MAPLE) diz que os proximos termos sao 838, 8440, 48141, 200229,
677006, 1972016, 5126743, 12178361, 26874761, ... ? Seriam as raizes ? Seria muito maçante eu substituir no polinomio para ver isso...


Em uma mensagem de 12/3/2004 11:32:22 Hora padrão leste da Am. Sul, nicolau@mat.puc-rio.br escreveu:


> On Thu, Mar 11, 2004 at 10:47:21PM -0500, Faelccmm@aol.com wrote:
> > Para o Nicolau ou quem souber,
> > 
> > [... Dados n pontos (x1, y1), ..., (xn, yn) no plano com xis distintos,
> > sempre existe um único polinômio p de grau < n tal que p(xi) = yi...]
> > 
> > Poderiam me dar um exemplo de uma sequencia qualquer apenas para visualizar 
> > melhor o que esta acima ? Pois esta relacao entre [[[sequencia X polinomios X 
> > geometria analitica]]] foi bem interessante.  
>
> Defina
> qi(x) = (x - x1)(x - x2) ... (x - x_{i-1})(x - x_{i+1}) ... (x - xn)
> Note que qi é um polinômio de grau (n-1) com raízes
> x1, x2, ..., x_{i-1}, x_{i+1}, ..., xn. Ou seja,
> qi(xj) = 0 se i for diferente de j e qi(xi) é diferente de 0.
> Defina ri(x) = qi(x)/qi(xi): temos ri(xj) = [ i = j ] (notação de Iverson),
> ou seja, 1 se i = j e 0 caso contrário.
> Finalmente, defina p(x) = y1 r1(x) + y2 r2(x) + ... + yn rn(x).
> Claramente p(xi) = yi para todo i e p é um polinômio de grau <= n-1.
>
> Suponha agora que p1(xi) = yi para todo i. Temos (p1 - p)(xi) = 0 para
> todo i donde (p1 - p)(x) = s(x)(x-x1)(x-x2)...(x-xn) para algum polinômio s.
> Assim ou p1 = p (se s = 0) ou grau(p1 - p) >= n (se s for diferente de 0).
> O segundo caso implica grau(p1) >= n. Isto prova o que eu afirmei.
>
> O maple tem a função interp que obtem este polinômio p.
> Digamos que você deseje obter uma seqüência que comece assim:
> 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...
> Bem, talvez esta seqüência seja um polinômio. Como demos 11 termos,
> podemos encontrar um único polinômio p de grau <= 10 tal que
> p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, ..., p(11) = 31.
> O comando para encontrar este polinômio no maple é:
>
> p := interp([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31],x);
>
> A que o maple responde com:
>
>        457    10    5501   9   3001   8   358907  7   4825441  6   5944169  5
> p := ------- x   - ------ x  + ----- x  - ------ x  + ------- x  - ------- x
>      3628800       725760      15120      120960      172800        34560
>
>        253180001  4   331321657  3   16361409  2   1282409
>      + --------- x  - --------- x  + -------- x  - ------- x + 900
>         362880         181440          5600          504
>
> Ou seja,
> p = (457 x^10 - 27505 x^9  + 720240 x^8  - 10767210 x^7  + 101334261 x^6
> - 624137745 x^5 + 2531800010 x^4  - 6626433140 x^3  + 10602193032 x^2
> - 9233344800 x + 3265920000)/3628800.
>
> Assim, os primeiros 20 termos da seqüência são claramente:
>
> 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 838, 8440, 48141, 200229,
> 677006, 1972016, 5126743, 12178361, 26874761, ...
>
> Bem, talvez você consiga pensar em alguma outra seqüência com
> aqueles primeiros 11 termos, mas você não tem como negar que a minha
> resposta está correta. ;-)