Re: [obm-l] AB - BA = I

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 09.03.04 13:38, Luiz Ponce at lponce@terra.com.br wrote:

> caro amigo Claudio ,
> Você pode demonstrar   a propriedade:
> 
> Outra propriedade que vale apenas em espacos vetoriais de dimensao finita eh
> a seguinte: se T e U sao operadores lineares tais que UT = I, entao TU = I
> 
> PONCE
> 
Oi, Ponce:

A demonstracao que eu imaginei usa os seguintes fatos:

1) Uma funcao f tem inversa a esquerda <==> f eh injetiva;

2) Uma funcao f tem uma inversa <==> f eh uma bijecao

Os dois fatos acima valem pra qualquer funcao e nao apenas pra
transformacoes lineares. Os dois abaixo sao especificos de transformacoes
lineares.

3) Sejam E e F espacos vetoriais e T:E -> F uma transformacao linear.
Entao T eh injetiva <==> Nucleo(T) = {0}

4) Teorema do Nucleo e da Imagem:
Sejam E e F espacos vetorias tais que E tem dimensao finita.
Seja T: E -> F uma transformacao linear.
Entao, dim(Nucleo(T)) + dim(Imagem(T)) = dim(E)

Esse teorema eh demonstrado estendendo-se uma base do nucleo(T) ateh uma
base de E e aplicando T a uma combinacao linear arbitraria dos vetores dessa
base.

***

Vamos ao nosso resultado:

Seja E um espaco vetorial de dimensao finita e T e U operadoes nesse espaco
tais que UT = I. Entao:

U eh um inverso a esquerda de T  ==>

T eh injetivo  ==>

Nucleo(T) = {0}  ==>

dim(Imagem(T)) = dim(E) - dim(Nucleo(T)) = dim(E) - 0 = dim(E)  ==>

Imagem(T) = E  ==>

T eh sobrejetiva  ==>

T eh uma bijecao  ==>

T tem uma inversa T' tal que TT' = T'T = I  ==>

T' = IT' = (UT)T' = U(TT') = UI = U  ==>

U eh inversa de T ==>

TU = I

E acabou...

Repare que nao bastava tomar a inversa T' de T e escrever:
T' = IT' = (UT)T' = U(TT') = UI = U.
Antes, precisavamos provar que T tem uma inversa T'.
Finalmente, de posse desse fato, pudemos concluir que U = T'.

Espero que tenha ficado claro.


Um abraco,
Claudio.




 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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