Re: [obm-l] congruencias

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

Faelccmm@aol.com wrote:

>   Ola pessoal,
> 
> 
> Prove que 2^70 + 3^70 eh divisivel por 13.

	Como 13 é primo vale o pequeno teorema de Fermat:

	a^(p-1)=1 (mod p)

	ou seja

	a^12 = 1 (mod 13)

	Agora floor(70/12)=5 e portanto
	70 = 5*12+10 = 10 (mod 13)
	
	De modo que o problema se reduz a
	2^10+3^10 =0 (mod 13)

	Multiplicando dos dois lados por 4*9:

	4*9*(2^10+3^10) = 9*2^12 + 4*3^12

	mas 2^12 = 3^12 = 0 (mod 13)

	portanto 2^70+3^70 = 4+9 = 13 = 0 (mod 13) QED

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br           "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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