Re: [obm-l] GL(n,p) e SL(n,p)

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 07.03.04 14:14, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:

> On Sun, Mar 07, 2004 at 12:13:54PM -0300, Claudio Buffara wrote:
>> Pergunta: Quanto vale |SL(n,p)|?
>> 
>> Sabendo-se que SL(n,p) eh um subgrupo normal de GL(n,p) com indice = p-1, o
>> problema acaba.
>> 
>> Por outro lado, alguem sabe calcular |SL(n,p)| de forma elementar?
> 
> Mais elementar do que o que você fez, você quer dizer?
> Sem usar teoria de grupos? Bem, é claro que o argumento do índice
> que você usou pode ser expandido para ser legível por alguém que
> não conheça teoria de grupos.

Tem razao. Por exemplo, voce pode definir uma relacao de equivalencia em
GL(n,p): A ~ B <==> det(A) = det(B) e repetir os passos da demonstracao do
teorema de Lagrange para esse caso especifico.

> Não é tão difícil assim, uma das
> demonstrações do pequeno teorema de Fermat populares entre olímpicos
> é feita exatamente assim. Você não pode querer dizer sem usar
> álgebra linear, quer? Pq a idéia de estudar alguma coisa que envolve
> o determinante na definição sem usar álgebra linear, bem...
> 
Nao. Mas o calculo de |GL(n,p)| depende soh do conceito de independencia
linear e de combinatoria muito elementar:
1a. linha da matriz: p^n - 1 escolhas (todos os vetores menos o 0);
2a. linha: p^n - p escolhas (todos os vetores menos os multiplos da 1a.
linha);
etc.

Eu me referia a algo desse tipo. Mas, pensando bem, o conceito de matriz
inversivel pode ser bem desenvolvido sem se mencionar determinantes. Jah o
conceito de matriz com determinante = 1 ...
 
> Eu não conheço nenhuma demonstração muito diferente da que você
> mostrou que não seja claramente mais longa ou mais difícil.
> Se alguém tiver alguma eu gostaria de ver.
> 
OK. A demonstracao via teorema de Lagrange eh elementar o suficiente.

Um abraco,
Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================