Re: [obm-l] A^2 = I na obm-u de 2003

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Eu tenho usado o livro do Elon e algumas notas de aula da internet.
Por exemplo, sobre marizes inversiveis e determinantes, as melhores que eu
conheco estao aqui:
http://www.millersville.edu/~bikenaga/linalg/linanote.html

Classes de conjugacao, indice, centralizador, etc. sao conceitos de teoria
dos grupos. Por exemplo, de uma olhada em:
http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/Courses/311/
Estas notas sao bem resumidas, mas creio que sao suficientes para se
entender a solucao abaixo.

Neste site tambem ha algumas notas razoaveis sobre teoria dos numeros e
teoria de Galois. 

Um abraco,
Claudio.

on 07.03.04 09:26, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at
peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:

> Ola voces!!!!
> Cl;audio, voce conhece algum livro POWER o
> suficiente para aprender essas coisas de Algelin
> que se usam na OBM? Geralmente eu fico perdido
> num problema desses...
> 
> --- Claudio Buffara
> <claudio.buffara@terra.com.br> escreveu: > Oi,
> Nicolau:
>> 
>> Na sua solucao do problema de se determinar o
>> numero de matrizes A de
>> GL(4,p) com A^2 = I, voce usou o fato de que
>> (Z_p)^4 pode ser decomposto
>> numa soma direta U + V com U = {u | Au = u} e V
>> = {v | Av = -v}.
>> 
>> Seguindo nessa linha, eu pensei no seguinte:
>> 
>> Em virtude dessa decomposicao, cada A serah
>> semelhante (conjugada) a
>> exatamente uma dentre cinco matrizes diagonais,
>> cada uma com k = 0, 1, 2, 3
>> ou 4 elementos iguais a 1 e os demais -1 (ou,
>> mais precisamente, p-1).
>> 
>> As matrizes serao:
>> k = 0: diag(-1,-1,-1,1) = -I
>> k = 1: diag(-1,-1,-1,1)
>> k = 2: diag(-1,-1,1,1)
>> k = 3: diag(-1,1,1,1)
>> k = 4: diag(1,1,1,1) = I.
>> 
>> Agora, minha ideia eh calcular o numero de
>> elementos nas classes de
>> conjugacao de cada uma dessas matrizes.
>> 
>> k = 0 ==> A = -I ==> 1 elemento
>> k = 4 ==> A = I ==> 1 elemento
>> 
>> Nos demais casos, eu vou usar o fato de que o
>> numero de elementos na classe
>> de conjugacao de uma matriz D eh igual ao
>> indice do centralizador de D em
>> GL(4,p), ou seja, igual a |GL(4,p)|/|C(D)|.
>> 
>> |GL(4,p)| = (p^4 - 1)(p^4 - p)(p^4 - p^2)(p^4 -
>> p^3).
>> 
>> k = 1 ==> diag(D) = (-1,-1,-1,1)
>> Se XD = DX, entao X terah a ultima linha e a
>> ultima coluna nulas, exceto
>> pelo elemento X(4,4), que deve ser <> 0, pois X
>> eh nao-singular.
>> Assim, o numero de tais X serah:
>> |C(D)| = (p-1)*|GL(3,p)| =
>> (p-1)(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2) ==>
>> [GL(4,p):C(D)] = p^3*(p^3 + p^2 + p + 1)
>> 
>> k = 2 ==> diag(D) = (-1,-1,1,1)
>> Se XD = DX, entao X terah os dois blocos 2x2
>> fora da diagonal principal
>> nulos (ou seja, X(1,3) = X(1,4) = X(2,3) =
>> X(2,4) = X(3,1) = X(3,2) = X(4,1)
>> = X(4,2) = 0). Portanto:
>> |C(D)| = |GL(2,p)|^2 = (p^2-1)^2*(p^2-p)^2 ==>
>> [GL(4,p):C(D)] = p^4*(p^2+1)*(p^2+p+1)
>> 
>> k = 3 ==> diag(D) = (-1,1,1,1)
>> Esse caso eh analogo ao de k = 1. Logo:
>> |C(D)| = (p-1)(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2) ==>
>> [GL(4,p):C(D)] = p^3*(p^3 + p^2 + p + 1)
>> 
>> Logo, o numero total e matrizes A eh igual a:
>> 1 + 1 + 2*p^3*(p^3+p^2+p+1) +
>> p^4*(p^2+1)*(p^2+p+1) =
>> p^8 + p^7 + 4*p^6 + 3*p^5 + 3*p^4 + 2*p^3 + 2
>> 
>> 
>> Ta certo isso?
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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