Re: [obm-l] Identidades de mdc

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 07.03.04 00:59, Rafael at cyberhelp@bol.com.br wrote:

> Cláudio,
> 
> E como se pode demonstrá-la para o caso de serem dois inteiros positivos e
> não primos entre si? (O caso de quando são primos entre si me pareceu
> imediato, mas esse já nem tanto...)
> 
> 
> Obrigado,
> 
> Rafael de A. Sampaio
> 

Sejam d = mdc(a,b) e m = mmc(a,b)

m = mmc(a,b) = menor inteiro positivo tal que:
1) a | m    e    b | m
e
2) se a | k  e  b | k entao m | k

Sabemos que  a = d*u  e  b = d*v  com  u, v inteiros positivos primos entre
si.

Seja q = d*u*v.
Entao, q = a*v = b*u ==>
a | q  e  b | q  (1)

Seja k um inteiro tal que a | k  e  b | k.
Entao d*u | k  e  d*v | k ==>
existem inteiros r, s tais que  k = r*d*u   e  k = s*d*v ==>
r*d*u = s*d*v ==>
r*u = s*v ==>
u | s*v ==>
como u e v sao primos entre si, u | s ==>
s = t*u ==>
k = t*d*u*v ==>
d*u*v | k  (2)

Logo, d*u*v satisfaz (1) e (2) da definicao de mmc ==>
m = d*u*v = (d*u)*(d*v)/d = a*b/d ==>
m*d = a*b


Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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