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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duvidas (Funções)



A resposta é 3.
15 = 13 e 12 = 16
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---------- Original Message -----------
From: "Rafael" <cyberhelp@bol.com.br>
To: "OBM-L" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sat, 6 Mar 2004 22:13:08 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l]  Duvidas (Funções)

> Thor,
> 
> Vamos supor, espero que sem perder a generalidade, como é costume 
> dizer, que o hexágono regular de que estamos tratando está no plano 
> de Argand-Gauss. Cada um dos vértices do hexágono é raiz de uma 
> equação de sexto grau. Todas as raízes terão mesmo módulo (distância 
> da origem até o ponto) e corresponderão à rotação de 360°/6 = 60° da 
> raiz que a precede. Portanto, o número de elementos de V é o de 
> pares formados escolhendo-se dois números complexos entre os seis. 
> Veja que a ordem em que esses números são escolhidos importa, pois o 
> par (P;Q) é diferente do par (Q;P). Dessa forma, teremos os arranjos 
> dos seis números tomados dois a dois, 6!/4! = 30. Não é difícil 
> contá-los, veja:
> 
> Seja P1, P2, P3, P4, P5, P6 os vértices do hexágono regular, teremos:
> 
> (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),
> (P2,P1),(P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),
> (P3;P1),(P3;P2),(P3;P4),(P3;P5),(P3;P6),
> (P4;P1),(P4;P2),(P4;P3),(P4;P5),(P4;P6),
> (P5;P1),(P5;P2),(P5;P3),(P5;P4),(P5;P6),
> (P6;P1),(P6;P2),(P6;P3),(P6;P4),(P6,P5)
> 
> Dessa forma, n(V) = 30.
> 
> Porém, apesar de existirem 30 pares, não existem 30 distâncias diferentes.
> Observe que a distância, por exemplo, de P1 a P2 é a mesma de P2 a 
> P1. Descontando esses pares que têm vértices permutados serão C(6,2) 
> = 6!/(4!2!) = 15 distâncias até agora. Exemplificando:
> 
> (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),
> (P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),(P3;P4),
> (P3;P5),(P3;P6),(P4;P5),(P4;P6),(P5;P6),
> 
> Voltando a pensar no plano de Argand-Gauss, cada par é um afixo no 
> plano e há uma circunferência que contém os seis afixos. A distância 
> entre dois afixos consecutivos (lado do hexágono) é a mesma, pois 
> trata-se de um hexágono regular. Descontando-se esses afixos 
> consecutivos, ficaremos com 11 distâncias distintas:
> 
> (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),(P2;P4),
> (P2;P5),(P2;P6),(P3;P5),(P3;P6),(P4;P6)
> 
> Analogamente, (P1;P3) possuirá, por exemplo, a mesma distância de 
> (P2;P4), pois cada par possui simetria em relação a outro se o outro 
> possuir pontos simétricos em relação aos do primeiro. Note que tudo 
> isso é válido principalmente por se tratar de um hexágono regular. 
> Isso ocorre também, por exemplo, para (P1;P4) e (P2;P5). Eliminando 
> os pares simétricos que, assim, possuem a mesma distância, vêm:
> 
> (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6)
> 
> E isso faz sentido. As distâncias distintas, num hexágono regular, 
> são as obtidas tomando-se um dos pontos (no caso, P1) e cada um dos outros.
> 
> Dessa forma, n[Im(f)] = 5.
> 
> É um problema bem legal! ;-)
> 
> Abraços,
> 
> Rafael de A. Sampaio
> 
> ----- Original Message -----
> From: Thor
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Sent: Saturday, March 06, 2004 4:00 PM
> Subject: [obm-l] Duvidas (Funções)
> 
> Sejam V = {( P;Q) | P e Q são vértices distintos de um hexágono 
> regular} e f uma função que associa a cada par (P;Q) de V a 
> distância de P a Q. O número de elementos do conjunto imagem de f é?
> 
>                         Agradeço desde de já.
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
------- End of Original Message -------

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