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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duvidas (Fun��es)
A resposta � 3.
15 = 13 e 12 = 16
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---------- Original Message -----------
From: "Rafael" <cyberhelp@bol.com.br>
To: "OBM-L" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sat, 6 Mar 2004 22:13:08 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Duvidas (Fun��es)
> Thor,
>
> Vamos supor, espero que sem perder a generalidade, como � costume
> dizer, que o hex�gono regular de que estamos tratando est� no plano
> de Argand-Gauss. Cada um dos v�rtices do hex�gono � raiz de uma
> equa��o de sexto grau. Todas as ra�zes ter�o mesmo m�dulo (dist�ncia
> da origem at� o ponto) e corresponder�o � rota��o de 360�/6 = 60� da
> raiz que a precede. Portanto, o n�mero de elementos de V � o de
> pares formados escolhendo-se dois n�meros complexos entre os seis.
> Veja que a ordem em que esses n�meros s�o escolhidos importa, pois o
> par (P;Q) � diferente do par (Q;P). Dessa forma, teremos os arranjos
> dos seis n�meros tomados dois a dois, 6!/4! = 30. N�o � dif�cil
> cont�-los, veja:
>
> Seja P1, P2, P3, P4, P5, P6 os v�rtices do hex�gono regular, teremos:
>
> (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),
> (P2,P1),(P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),
> (P3;P1),(P3;P2),(P3;P4),(P3;P5),(P3;P6),
> (P4;P1),(P4;P2),(P4;P3),(P4;P5),(P4;P6),
> (P5;P1),(P5;P2),(P5;P3),(P5;P4),(P5;P6),
> (P6;P1),(P6;P2),(P6;P3),(P6;P4),(P6,P5)
>
> Dessa forma, n(V) = 30.
>
> Por�m, apesar de existirem 30 pares, n�o existem 30 dist�ncias diferentes.
> Observe que a dist�ncia, por exemplo, de P1 a P2 � a mesma de P2 a
> P1. Descontando esses pares que t�m v�rtices permutados ser�o C(6,2)
> = 6!/(4!2!) = 15 dist�ncias at� agora. Exemplificando:
>
> (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),
> (P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),(P3;P4),
> (P3;P5),(P3;P6),(P4;P5),(P4;P6),(P5;P6),
>
> Voltando a pensar no plano de Argand-Gauss, cada par � um afixo no
> plano e h� uma circunfer�ncia que cont�m os seis afixos. A dist�ncia
> entre dois afixos consecutivos (lado do hex�gono) � a mesma, pois
> trata-se de um hex�gono regular. Descontando-se esses afixos
> consecutivos, ficaremos com 11 dist�ncias distintas:
>
> (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),(P2;P4),
> (P2;P5),(P2;P6),(P3;P5),(P3;P6),(P4;P6)
>
> Analogamente, (P1;P3) possuir�, por exemplo, a mesma dist�ncia de
> (P2;P4), pois cada par possui simetria em rela��o a outro se o outro
> possuir pontos sim�tricos em rela��o aos do primeiro. Note que tudo
> isso � v�lido principalmente por se tratar de um hex�gono regular.
> Isso ocorre tamb�m, por exemplo, para (P1;P4) e (P2;P5). Eliminando
> os pares sim�tricos que, assim, possuem a mesma dist�ncia, v�m:
>
> (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6)
>
> E isso faz sentido. As dist�ncias distintas, num hex�gono regular,
> s�o as obtidas tomando-se um dos pontos (no caso, P1) e cada um dos outros.
>
> Dessa forma, n[Im(f)] = 5.
>
> � um problema bem legal! ;-)
>
> Abra�os,
>
> Rafael de A. Sampaio
>
> ----- Original Message -----
> From: Thor
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Sent: Saturday, March 06, 2004 4:00 PM
> Subject: [obm-l] Duvidas (Fun��es)
>
> Sejam V = {( P;Q) | P e Q s�o v�rtices distintos de um hex�gono
> regular} e f uma fun��o que associa a cada par (P;Q) de V a
> dist�ncia de P a Q. O n�mero de elementos do conjunto imagem de f �?
>
> Agrade�o desde de j�.
>
> =========================================================================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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------- End of Original Message -------
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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