[obm-l] Problema da RPM

[Danilo notes <dantas20102001@xxxxxxxxxxxx>]

Pessoal , esse probleminha eu tirei da RPM , gostaria que vcs analisassem minha soluçao.

 

Dados x e y  números inteiros positivos ,  mostre  que  se  x^2 + xy + y^2   é divisivel por 10 então é divisível por 100

 

Solução:

 Observe  que   x^2 + xy + y^2   =   (x+y)^2 -  xy  .   Obviamente   x  e y  devem ser pares caso contrario a congruência  (x+y)^2 = xy   modulo 10  seria impossível ,   daí   a expressão   (x+y)^2 -  xy   é divisível por 4 .  Suponha agora  x = a  modulo 5    e  x = b  modulo 5  , onde a,b  pertencem ao conjunto    { 1, 2 , 3 , 4 } .  È fácil verificar que nenhum  dos pares  ( a , b)  é solução  da congruência   (x+y)^2 = xy   modulo 5   por verificação direta também não podemos ter  a = 0 modulo 5   e b não divisível por 5 ou vice versa .  Assim so é  possível que    (x+y)^2 = xy   modulo 5    se   x = 0  modulo 5    e   y = 0  modulo 5  ,  mas neste  caso a expressão    (x+y)^2 -  xy    é  divisivel  por 25 .  Como 4 e 25 são primos entre si  então  (x+y)^2 -  xy   é divisível por 100.

 

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