Re: [obm-l] A^2005 = I ==> A = I

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 02.03.04 14:54, Domingos Jr. at dopikas@uol.com.br wrote:

>> Uma duvida: existe uma maneira mais curta de se provar que A = I, dado que
>> A^2005 = I e que os autovalores de A sao 1, 1 e 1?
> 
> tome a fatoração de Schur de A: (Q é unitária e T é triangular superior)
> 
> http://mathworld.wolfram.com/SchurDecomposition.html
> 
> A = QTQ*
> A^2005 = Q.T^2005.Q* = I =>
> Q.T^2005.Q*.Q = I.Q
> => Q(T^2005  - I) = 0
> mas Q é unitária e portanto T^2005 = I
> 
> os autovalores de A aparecem na diagonal de T, ou seja T tem diagonal (1, 1,
> 1)
> 
> note que
> | 1 a b | | 1 a' b' |    | 1   a + a'  b + ac' + b' |
> | 0 1 c | | 0 1 c' |  =  | 0      1         c + c'     |
> | 0 0 1 | | 0 0 1  |      | 0      0            1       |
> 
> podemos verificar que se T é a matriz da esquerda e a = T(1, 2) < 0, então
> T^n(1,2) = n*a e T^n(2,3) = n*c
> logo se T^2005 = I, a = c = 0, e nesse caso temos que T^n(1, 3) = n*b e
> chegamos a conclusão que b = 0 e T = I.
> 
> logo A = QTQ* = QIQ* = QQ* = I
> 
> [ ]'s
> 
Legal! Muito obrigado.

Acabei de ver num livro de algebra linear que o simples fato de os tres
autovalores de A serem racionais (no nosso caso, iguais a 1) faz com que
exista uma matriz racional P, inversivel mas nao necessariamente ortogonal,
tal que P*A*P^(-1) eh triangular.

De qualquer jeito, a conclusao da demonstracao eh a mesma.

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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