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Bom gente, eu mandei esse
problema pra lista, acompanhei os emails do Arthur, do Cláudio e do Nicolau
sobre ele, inclusive chegando a solucao final. Legal. Segue abaixo uma outra
solucao, bastante interessante, para o problema. (o fanático por
polinomios de chebyshev da lista vai adorar :) ).
A ideia eh que se x = arccos((raiz(5)-1)/2) fosse
multiplo racional de Pi, entao haveria um inteiro n tal que cos(nx) = 0, e
portanto cos(x) seria raiz de uma equacao de coeficientes inteiros t^n +
...t^n-1 +... = 0 (polinomio de chebyshev). Mas por um lado todas as raizes
desse polinomio estao em [-1,1] (afinal, temos cos(nx) = t^n + ... e
isso vale zero para nx(k) = pi/2 + kpi, k = 0, 1, 2, 3, ..., n-1, o que ja
lista todas as raizes do polinomio como sendo cos x(k) para algum k), e por
outro lado o
conjugado de cosx, (raiz(5)+1)/2 > 1 tambem deveria ser raiz dela... Legal né? Abracos,
Marcio
Cohen.
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