RES: [obm-l] Geometria no plano

["Guilherme" <gui@xxxxxxxxxx>]

Bem dif�cil mesmo!!!

A solu��o que encontrei foi esta:

Chame o v�rtice mais da esquerda de A, o do direita de B e o de cima de
C. Coloque o v�rtice D entre A e B. Na interse��o de AB com CD coloque
E. Na interse��o de AE com BC coloque F. (Seria mais f�cil se eu pudesse
anexar a figura).
Chamando de a o �ngulo EAD, b o �ngulo EDB, e c o �ngulo EFB, podemos
definir os demais �ngulos como:
	AED = b - a
	CEF = b - a
	DBC = 180 - (a + c)
	DCB = c - (b - a)
	CFE = 180 - c

Tra�ando-se as circunfer�ncias circunscritas aos tri�ngulos AED e CEF,
essas interceptam-se nos pontos E e P.
-	Na circunfer�ncia circunscrita a ADE, se AED = b - a  , ent�o
APD = b - a (ambos inscritos no arco AD).
-	Na mesma circunfer�ncia,DPE = DAE =a (ambos inscritos no arco
DE).
-	Na circunfer�ncia circunscrita ao tri�ngulo CEF, se CFE = 180 -
c , ent�o EPC = c , pois s�o �ngulos opostos do quadril�tero inscrit�vel
EPCF.
-	Podemos afirmar, portanto, que a + c , pois DPC = DPE + EPC .
Como DPC = a + c  e DBC = 180 - (a + c) , ent�o DPC + DBC = 180� , o que
prova que a circunfer�ncia que circunscreve o tri�ngulo DBC tamb�m
circunscreve o quadril�tero DBCP. Logo, P pertence � circunfer�ncia
circunscrita ao tri�ngulo DBC.
Na circunfer�ncia circunscrita ao tri�ngulo DBC, temos DCB = DPB = c -
(b - a) , pois s�o ambos �ngulos inscritos no arco BD. E se APB = APD +
DPB  , ent�o  APB = (b - a) + (c - (b - a)). Ent�o, APB = c , logo, APB
= AFB o que prova que P e F s�o pontos pertencentes ao arco capaz do
�ngulo c relativo ao segmento AB. Com isso, podemos afirmar que ABFP �
um quadril�tero inscrit�vel e portanto, P pertence � circunfer�ncia que
circunscreve o tri�ngulo AFB.
Logo, P � ponto comum �s 4 circunfer�ncias circunscritas aos 4
tri�ngulos da figura. 


Achei essa quest�o muito interessante, embora na minha opini�o, fuja
muito do n�vel da maioria dos candidatos.

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em
nome de kleinad@webcpd.com
Enviada em: sexta-feira, 27 de fevereiro de 2004 15:30
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria no plano


D�em uma olhada tamb�m na quest�o 10 em
http://www.ime.eb.br/~sd3/vestibular/provas9798/mat04.gif . Como provo
isso?

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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