[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas

Pedro,

Para o problema 1, sabemos que a equação de uma reta tangente é dada por: y = mx + h.

De x^2 + y^2 = 25 e y = mx + h, chegamos a (m^2+1)x^2 + (2mk)x + k^2 - 25 = 0, que é quadrática em x. Impondo que o discriminante seja igual a zero, visto que há um único ponto de tangência. Obter-se-á a equação 25m^2 - k^2 + 25 = 0.

Mas sabemos que o ponto (5,-6) pertence à reta y = mx + h, então 5m + k = -6, ou ainda, k = - 5m - 6.

De 25m^2 - k^2 + 25 = 0 e k = - 5m - 6, chegamos a m = - 11/60 e k = - 61/12. Logo, a equação de uma das tangentes é dada por y = -11/60x - 61/12.

Como o coeficiente angular encontrado é único, e para cada ponto há duas tangentes à circunferência, devemos concluir que a outra reta não só é tangente à circunferência, mas também perpendicular ao eixo x. Assim, a outra tangente é dada pela equação x = 5.

De x^2 + y^2 = 25 e x = 5, obtemos o primeiro ponto de tangência: (5,0).

De x^2 + y^2 = 25 e y = - 11/60x - 61/12, obtemos o outro ponto de tangência: (-55/61, -300/61).

Calculando a distância D entre esses pontos: D = sqrt((5+55/61)^2+(0+300/61)^2) = 60*sqrt(61)/61.

Como o exercício pede a metade do comprimento da corda que une os pontos, em outras palavras, metade da distância determinada por eles: D/2 = 30*sqrt(61)/61. Alternativa B.

Para o problema 2, por hipótese, a equação da elipse é dada por x^2/16 + y^2/9 = 1. Na verdade, não faz diferença para o problema se optássemos pela equação x^2/9 + y^2/16 = 1 (translação).

Como desejamos obter o maior valor possível para x e y tal que o quadrado possa ser inscrito na elipse, devemos impor: x = y ==> x^2 - y^2 = 0.

De x^2/16 + y^2/9 = 1 e x^2 - y^2 = 0, obtemos quatro soluções que são os vértices do quadrado. Assim, para o primeiro quadrante, temos o ponto (12/5,12/5). A medida do lado do quadrado é, pois, 24/5 e, por conseguinte, a sua área é 576/25. Alternativa B.

Abraços,

Rafael de A. Sampaio

----- Original Message -----

From: Pedro Costa

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Friday, February 20, 2004 10:04 AM

Subject: [obm-l] Dúvidas

1)   Em um sistema de coordenadas ortogonais no plano são dados o ponto (5,-6) e a circunferência x^2 + y^2 = 25. A partir do ponto (5,-6), traçam-se duas tangentes a circunferência. Calcule a metade do comprimento da corda que une os pontos de tangência.
a)     b)   c)     d)

2) Dada uma elipse, com centro na origem, de semi-eixo a=4 e b=3, calcule a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse.

a)          b)     c)    d)