[obm-l] Re: [obm-l] D�vidas

Pedro,

Para o problema 1, sabemos que a equa��o de uma reta tangente � dada por: y = mx + h.

De x^2 + y^2 = 25 e y = mx + h, chegamos a (m^2+1)x^2 + (2mk)x + k^2 - 25 = 0, que � quadr�tica em x. Impondo que o discriminante seja igual a zero, visto que h� um �nico ponto de tang�ncia. Obter-se-� a equa��o 25m^2 - k^2 + 25 = 0.

Mas sabemos que o ponto (5,-6) pertence � reta y = mx + h, ent�o 5m + k = -6, ou ainda, k = - 5m - 6.

De 25m^2 - k^2 + 25 = 0 e k = - 5m - 6, chegamos a m = - 11/60 e k = - 61/12. Logo, a equa��o de uma das tangentes � dada por y = -11/60x - 61/12.

Como o coeficiente angular encontrado � �nico, e para cada ponto h� duas tangentes � circunfer�ncia, devemos concluir que a outra reta n�o s� � tangente � circunfer�ncia, mas tamb�m perpendicular ao eixo x. Assim, a outra tangente � dada pela equa��o x = 5.

De x^2 + y^2 = 25 e x = 5, obtemos o primeiro ponto de tang�ncia: (5,0).

De x^2 + y^2 = 25 e y = - 11/60x - 61/12, obtemos o outro ponto de tang�ncia: (-55/61, -300/61).

Calculando a dist�ncia D entre esses pontos: D = sqrt((5+55/61)^2+(0+300/61)^2) = 60*sqrt(61)/61.

Como o exerc�cio pede a metade do comprimento da corda que une os pontos, em outras palavras, metade da dist�ncia determinada por eles: D/2 = 30*sqrt(61)/61. Alternativa B.

Para o problema 2, por hip�tese, a equa��o da elipse � dada por x^2/16 + y^2/9 = 1. Na verdade, n�o faz diferen�a para o problema se opt�ssemos pela equa��o x^2/9 + y^2/16 = 1 (transla��o).

Como desejamos obter o maior valor poss�vel para x e y tal que o quadrado possa ser inscrito na elipse, devemos impor: x = y ==> x^2 - y^2 = 0.

De x^2/16 + y^2/9 = 1 e x^2 - y^2 = 0, obtemos quatro solu��es que s�o os v�rtices do quadrado. Assim, para o primeiro quadrante, temos o ponto (12/5,12/5). A medida do lado do quadrado �, pois, 24/5 e, por conseguinte, a sua �rea � 576/25. Alternativa B.

Abra�os,

Rafael de A. Sampaio

----- Original Message -----

From: Pedro Costa

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Friday, February 20, 2004 10:04 AM

Subject: [obm-l] D�vidas

1)   Em um sistema de coordenadas ortogonais no plano s�o dados o ponto (5,-6) e a circunfer�ncia x^2 + y^2 = 25. A partir do ponto (5,-6), tra�am-se duas tangentes a circunfer�ncia. Calcule a metade do comprimento da corda que une os pontos de tang�ncia.
a)     b)   c)     d)

2) Dada uma elipse, com centro na origem, de semi-eixo a=4 e b=3, calcule a �rea do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse.

a)          b)     c)    d)