Re: [obm-l] quadrado perfeito

["Villard" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Se n>=12, então a expressão é = 2^12(1+8+2^(n-12)) e temos
que 9 + 2^j  = q^2, onde j=n-12. daí 2^j=(q-3)(q+3) e temos que q-3 e
q+3 são potências de 2 que diferem por 6 unidades, logo q-3=2 e q+3=8 e
temos que q=5 (isso dá j=4, ou seja, n=16, nesse caso o quadrado é
320^2).
Se n<12, então a expressão é 2^n*(1+2^(12-n)+2^(15-n)).
Se
n for ímpar, então 2*(1+2^(12-n)+2^(15-n)) deve ser quadrado, isso só é
possível se o que estiver dentro do parêntesis for par, o que não ocorre
para n<12.
Logo n é par. Então 1+2^(12-n)+2^(15-n) deve ser quadrado,
ou seja, 1+2^(12-n)+2^(15-n) = 1+2^(12-n)*(1+2^3)=q^2, logo temos que q^2 -
(3*2^((12-n)/2))^2 = 1, o que não pode ocorrer, pois não temos nunca dois
quadrados sendo números consecutivos (veja que usei que n é
par.).
Resposta: n=16. 
 Abraços, Villard

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] quadrado perfeito
Data: 16/02/04 02:50

Ola pessoal,

Poderiam me dar um ajuda neste daqui ?


For what positive integer(s), n, is 2^12 + 2^15 + 2^n a perfect
square?

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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