Re: [obm-l] Numeros algebricos e transcendentes

["Marcio Afonso A. Cohen" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

    Oi Arthur, tudo bem?
    Eu vi a demonstracao de que os nrs algebricos sao fechados para soma e
multiplicacao num livro chamado "Numeros irracionais e transcedentes", de
Djairo Figueiredo. Eu achei o livro interessante, pois nele eu vi pela
primeira vez a demonstracao de que Pi era transcendente (alem de
demonstracoes para transcedencia de 'e' e irracionalidade de 'Pi' e 'e').
    Isso resolve o seu problema, pq se x eh algebrico e y eh transcendente,
entao x+y nao pode ser algebrico (pq se fosse teriamos y = (x+y) + (-x)
algebrico pelo resultado acima). O caso da multiplicacao eh analogo.
    Eu fiquei muito chateado de nao ter pensado nisso durante a prova da
OBM-u de 2003, pois a questao 5 da prova usava uma ideia semelhante à ideia
dessas demonstracoes. Inclusive, o que eu estou escrevendo aqui nao foi
retirado diretamente do livro, mas sim do que eu lembro das ideias
principais que o Carlos (Stein) usou para resolver a questao na prova..
    Nao sei de um site onde tenha essa demonstracao, mas a ideia eh a
seguinte:
    Suponha que x e y sao algebricos. Entao, existem n-uplas
(x_1,x_2,...,x_n) e (y_1, ..., y_n) tais que x_1 + x*x_2 + ... + (x^n-1)*x_n
= 0. Em particular, podemos escrever x^n em funcao de 1,x,x^2,...,x^n-1,
sendo cada coeficiente uma combinacao linear dos racionais (x_1, ..., x_n).
Tambem podemos fazer isso para x^n+1, x^n+2, e assim por diante, e podemos
fazer algo analogo para y.
     Olhe agora para os numeros 1, (x+y), (x+y)^2, (x+y)^3, ... .
    Pelo que foi visto acima, veja que cada termo x^p * y^q pode ser escrito
como uma combinacao linear dos termos x^i * y^j para i,j em {0,1,...,n-1}
(basta escrevermos x^p em funcao de 1,x,x^2,...,x^n-1 e fazer analogo para
y^q. Portanto cada um dos termos (x+y)^k pode ser escrito como uma
combinacao racional dos mn numeros x^i * y^j acima descritos. Ou seja, a
cada (x+y)^k associamos um vetor de mn componentes racionais (r_ k1, r_k2,
...).
    Pegando k=1,2,...,mn+1, obtemos mn+1 vetores do espaco Q^mn (com
escalares em Q), e portanto eles devem ser linearmente dependentes, ou seja,
existem racionais q_1, ... nao todos nulos de modo que q_1*(x+y) +
q_2*(x+y)^2 + ... + q_n*(x+y)^n = 0 (pq cada componente do vetor será zero,
e portanto essa soma sera zero).
    Abracos,
    Marcio


----- Original Message -----
From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, February 12, 2004 10:20 AM
Subject: [obm-l] Numeros algebricos e transcendentes


> Alguem poderia indicar algum material ou algum site sobre numeros
algebricos
> e transcendentes?
> Especificamente, alguem tem uma demonstracao de que a soma de um
> transcendente com um  algebrico eh trancendente e o produto de um
> transcendente por um algebrico nao nulo eh transcendente?
> Obrigado
> Artur
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