Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis

[Fábio Dias Moreira <fabio.dias@xxxxxxxxxxxxxx>]

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[Sunday 08 February 2004 12:46: Lista OBM <obm-l@mat.puc-rio.br>]
> E aqui vai um de algebra linear:
>
> Sejam A e B matrizes inversiveis n x n tais que:
> A^5 = I (= matriz identidade n x n)   e   A*B*A^(-1) = B^2.
> Prove que existe um inteiro positivo k tal que B^k = I.
> Qual o menor valor possivel de k?
> [...]

A*B*A^(-1) = B^2. Elevando ao quadrado,

A*B^2*A^(-1) = B^4. Substituindo B^2,
A^2*B*A^(-2) = B^4. Repetindo a operação,
A^3*B*A^(-3) = B^8.
A^4*B*A^(-4) = B^16.
A^5*B*A^(-5) = B^32 <==> B = B^32 <==> B^31 = I, pois B é invertível.

Se k é o menor inteiro positivo para o qual B^k = I, então B^(31 mod k) = I, o 
que implica k|31 pela minimalidade de k. Logo k = 1 ou k = 31, pois 31 é 
primo. Se k = 1, então B=I e o problema não tem graça. Senão, o menor k tal 
que B^k = I é 31.

[]s,

- -- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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