Re: [obm-l] irracionais

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Isso pode ser visto como um caso partular de um teorema mais geral. Se N>1 e
n>1 sao inteiros e N nao for uma potencia n perfeita, entao N^(1/n) eh
irracional. Prova:
Como N nao eh uma potencia n perfeita, a decomposicao de N em fatores primos
contem fatores (pelo menos 1) elevados a expoentes r que nao sao h multiplos
 de n.  Temos entao, para cada um deste r's, que r = q*n + s, q>0 inteiro,
0<s<n inteiro.  Logo, N pode ser representado por N = K * M, sendo K uma
potencia n perfeita e M um numero inteiro cuja decomposicao em fatores
primos contempla todos estes fatores com expoentes < n. Como K^(1/n) eh
inteiro, para mostramos que N^(1/n) eh irracional basta portanto mostrarmos
que M^(1/n) eh irracional.  
Admitamos que M^(1/n)= m1/m2, sendo m1 e m2>0 primos entre si. Entao, m1^n=
M * m2^n. Sendo p um dos primos que comparecem na decomposicao de M, temos
emtao que M= p^q * M' , q<n, M' inteiro (nao contendo o fator p), e,
portanto,  m1^n = p^q * M' *  m2^n.  Logo, m1^n, e portanto m1, sao
multiplos de p. Entao, m1 = k*p, do que se segue que k^n * p^n =  p^q * M' *
 m2^n e   k^n * p^(n-q) = M' *  m2^n. Temos que n>q e que M' nao contem o
fator p em sua decomposicao em fatores primos.   Para que a ultima igualdade
se verifique, temos entao necessariamente que m2^n, e portanto m, eh
multiplo de p. Como isto contraria a hipotese de que m1 e m2 sao primos
entre si, segue-se que M eh irracional, o mesmo se verificando para N. 
Artur 

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] irracionais
Data: 03/02/04 18:51

Para Dopikas ou quem poder explicar ... 

1) Nao entendi a parte em vermelho abaixo !!! 

2) E se terminassemos o final assim: 

15b² = a² 
15b² = a*a 

caso 1 

15 = a e b^2 = a, entao b = sqrt(a) => b = sqrt(15)  (IRRACIONAL) 

caso 2 

15*b*b = a*a 

15*b = a e b=a, entao 15*a = a 15 = 1 (IMPOSSIVEL) 

Como b eh irracional, a^2 / b^2 tbem eh !!! A nao ser que a^2 = b^2, mas
neste caso nao teriamos 15 e sim 1 !!! 



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