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Caro Gabriel,
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, toda
equação algébrica, de grau estritamente positivo, admite no campo complexo pelo
menos uma raiz. Uma equação cúbica, como x^3 - 3x = sqrt(x+2), possui três
raízes, considerando o campo complexo. Para esta equação, em especial,
teremos uma raiz real positiva e duas raízes reais
negativas.
x^3 - 3x = sqrt(x+2) => x^6 - 6x^4 +
9x^2 - x - 2 = 0
Pelo teorema das raízes racionais, temos as
seguintes possibilidades: +1, -1, +2, -2.
Por verificação, 2 é raiz. Verificando na
equação inicial, também é raiz.
Pelo teorema da decomposição,
x^6 - 6x^4 + 9x^2 - x - 2 = 0 <=> (x
- 2)(x^5 + 2x^4 - 2x^3 - 4x^2 + x + 1) = 0 <=>
<=> (x - 2)(x^2 + x - 1)(x^3 + x^2 -
2x - 1) = 0 <=>
<=> x = 2 ou
x^2 + x - 1 = 0 ou x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0
x^2 + x - 1 = 0 <=> x =
[-1+sqrt(5)]/2 ou x = [-1-sqrt(5)]/2
Verificando tais raízes na equação
original, temos que x = [-1-sqrt(5)]/2 é raiz.
x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0 pode ser
resolvida por Tartaglia, por exemplo. E, ao meu ver, o que é a parte mais
trabalhosa da questão. Mostrarei duas formas.
Fazendo x = z - 1/3 e definindo p e q para reduzirmos a equação cúbica
completa a uma reduzida da forma z^3 + pz = q, temos:
p = - 2 - 1^2/3 = - 2 - 1/3 = -
7/3
q = 1*(-2)/3 - 2*1^3/27 - (-1) = - 2/3 -
2/27 + 1 = 7/27
E, agora, avaliam-se quais serão as raízes
por Q, R e D:
Q = 1/3*p = - 7/9
R = 1/2*q = 7/54
D = Q^3 + R^2 = - 343/729 +
49/2916 < 0
Por D < 0, sabemos que há três raízes
reais e distintas.
As três raízes podem ser obtidas
por:
t = arccos(R/sqrt(-R^3))
x_1 = 2*sqrt(-Q)*cos(t/3)-1/3
x_2 =
2*sqrt(-Q)*cos((t+2*pi)/3)-1/3
x_3 =
2*sqrt(-Q)*cos((t+4*pi)/3)-1/3
Por Tartaglia, uma raiz da equação reduzida
z^3 - 7/3*z = 7/27 é
z = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3) +
cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)
ou ainda, x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 +
(p/3)^3) + cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3) - 1/3
Uma pergunta razoável: qual é o mais
indicado? Difícil dizer, pois ambos são trabalhosos. A primeira forma, no
entanto, com o auxílio de uma calculadora científica, é mais conveniente. Pelo
que calculei, as raízes aproximadas são 1,24697960372, -1,80193773580 e
-0,44504186791. Verificando na equação inicial, -0,44504186791 é
raiz.
Logo, o conjunto-verdade da equação inicial
é V = {[-1-sqrt(5)]/2 ; -0,44504186791 ; 2}.
Ufa!!
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
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