Re: [obm-l] Phi de Euler

["Frederico Reis Marques de Brito" <fredericor@xxxxxxxxxxx>]

Dividindo em alguns casos é de fato possível demonstrar sua última 
afirmação. è fácil ver que   x teria que ser da forma   2^a .  q^b   , com  
a=0 ou 1     e   q   primo. Daí é só testar as possibilidades...

Imagino que exista alguma demonstração mais direta, mas essa é bem 
"construtiva".


Frederico.


>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Phi de Euler
>Date: Fri, 30 Jan 2004 12:13:32 -0200
>
>Com relacao a beleza matematica, uma regra que eu acho que falha pouco eh a
>seguinte: se um resultado tem uma demonstracao combinatoria, entao essa
>demonstracao eh a mais bonita. O unico contra-exemplo que me ocorre eh o
>caso do uso de algebra linear pra se demonstrar alguns resultados de
>combinatoria, mas isso eh a minha opiniao pessoal...
>
>Outro resultado parecido que tem uma demonstracao combinatoria identica eh:
>se n eh um inteiro positivo, entao d(n) eh impar se e somente se n eh
>quadrado perfeito, onde d(n) = no. de divisores positivos de n.
>
>Acho que dah pra provar que se p eh um primo tal que 2p+1 eh composto, 
>entao
>a equacao Phi(x) = 2p nao tem solucao.
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>on 30.01.04 11:00, Frederico Reis Marques de Brito at 
>fredericor@hotmail.com
>wrote:
>
> > Muito interessante essa demonstração combinatória!
> >
> > Quanto a sua reformulação, ainda restringindo o contradomínio aos 
>números
> > pares a função phi é altamente não sobrejetiva...
> >
> > Frederico.
> >
> >
> >> From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
> >> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> Subject: [obm-l] Phi de Euler
> >> Date: Fri, 30 Jan 2004 09:44:19 -0200
> >>
> >> Oi, Platao e Duda:
> >>
> >> Dentro do espirito de se buscar sempre a solucao mais bonita pra cada
> >> problema, aqui vai a minha candidata pra este ai:
> >> Se mdc(n,k) = 1 entao mdc(n,n-k) = 1. Logo, se n > 2, podemos arranjar 
>os
> >> inteiros positivos menores que n e primos com n em pares disjuntos da 
>forma
> >> {k,n-k}. Isso quer dizer que Phi(n) eh par para n > 2.
> >>
> >> Eh claro que se k = n - k entao n = 2k e mdc(n,k) = k > 1 (a menos que 
>k =
> >> 1
> >> ==> n = 2, mas esse caso jah foi descartado).
> >>
> >> ****
> >>
> >> E se mudarmos a pergunta original para: A imagem da funcao Phi contem 
>todos
> >> os inteiros positivos pares? (por exemplo, 14?)
> >>
> >> Um abraco,
> >> Claudio.
> >>
> >> on 30.01.04 01:04, Eduardo Casagrande Stabel at dudastabel@terra.com.br
> >> wrote:
> >>
> >>> Oi Platão e demais.
> >>>
> >>> Não querendo corrigir, mas já enriquecendo a mensagem do Platão. Se n 
>é
> >>> primo (com exceção a n=2) então Phi(n) = n-1 é par. Se n é potência de
> >> primo
> >>> n = p^i (com i>=2) então Phi(n) = p^i - p^(i-1) também é par. Já que a
> >>> função Phi é multiplicatica, isto é, se mdc(m,n)=1 então Phi(mn) =
> >> Phi(m)
> >>> Phi(n), então segue a conclusão de que, a menos para n = 2, Phi(n) é 
>um
> >>> número par.
> >>>
> >>> Para quem não conhece (a maioria), o Platão é amigo meu, de Novo
> >> Hamburgo, e
> >>> portanto também gaúcho. Saudações ao mais novo membro da lista, todos
> >>> esperamos boas contribuições como essa! Seja bem-vindo!
> >>>
> >>> Abração,
> >>> Duda.
> >>>
> >>>
> >>> From: "Platão Gonçalves Terra Neto" <plataoterra@ig.com.br>
> >>>> Basta ver que se p é primo, ímpar, então phi(p)=p-1, par.
> >>>> Para n=b^c, b primo, phi(b^c)=b^c-b^(c-1), que é par, ou seja,  se
> >>>> n=a1^p2*a2^p2*...an^pn, sendo ai, todos primos , distintos , n>2 e pi
> >>>> expoentes, então phi(n) é par.
> >>>> Se n=2^k, phi(n)=2^k-2^(k-1), que é par, exceção, para phi(2)=1.
> >>>> phi(1)=1.
> >>>> Logo, phi(n) é par , para todo n>2, donde ,N* não é imagem de phi(n)
> >>>> ----- Original Message -----
> >>>> From: "André Martin Timpanaro" <andre_math@hotmail.com>
> >>>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>>> Sent: Thursday, January 29, 2004 8:38 PM
> >>>> Subject: [obm-l] Dúvida
> >>>>
> >>>>
> >>>>> A afirmação abaixo é verdadeira?
> >>>>>
> >>>>> Dado um número natural n não nulo existe algum natural m tal que
> >>> phi(m)=n.
> >>>>> Onde phi(x) é a função phi de Euler.
> >>>>> Em outras palavras, a imagem de phi(x) é N* ?
> >>>>>
> >>>>> André T.
> >>>>>
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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