re:[obm-l] Equações

[Faelccmm@xxxxxxx]

Ola Pedro Costa,

1)

z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0

(z-1)*(z4 + z3 + z2 + z + 1) = 0

z^5 - 1 = 0
z = raiz quinta de 1

Plotando no plano de Argand-Gauss  teremos um poligono em que o modulo da raiz eh 1, ou seja, r=1
Substituindo:
SOMÁTORIO[i=1 a n](|r/3|)^k
SOMÁTORIO[i=1 a n](|1/3|)^k = (1/3)^1 + (1/3)^2 +...+(1/3)^n
Temos uma P.G infinita, cuja soma eh igual a (1/2). Mas tende ao infinito, logo eh < (1/2).

Alt. D

2)

Na segunda eu encontrei a alt d como resposta.

x^6 - (a+b+c)x^5 + 6x^4 - 3cx^2 + 6x - 1 = 0

-Como trata-se de uma reciproca de 2º classe e sendo a potencia maxima par sabemos de imediato que x1 = 1 e x2 = -1 sao raizes e a equacao original eh:

x^6 - 6x^5 + 6x^4 - 0x^0 - 6x^2 + 6x - 1 = 0 (observe a simetria!!!!)

-Como 1 e -1 sao raizes utilize Brit-Ruffini para abaixar o grau do polinomio para um polinomio de quarto grau.

-Divida este polinomio por x^2

-Voce chegara na equacao com as parcela [x^2 + (1/x^2)]. Substitua por {[(x + (1/x)]^2 - 2}

- resolva a equacao do 2º grau

- Com um pouco de algebra vc chegarah em:
x3 = 0,209
x4 = 4,791
x5 = complexo
x6 = complexo

Lembre-se que x1 = 1 e x2 = -1
Conjunto solucao nos reais {1, -1, 0,209, 4,791}
Quatro solucoes...alternativa d



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Pedro Costa wrote:


Ajude-me nas questões do ITA

1) (ITA - 2003) Das afirmacoes abaixo sobre a equacao z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 e suas solucoes no plano complexo:      

I - A equacao possui pelo menos um par de raizes reais.
II - A equacao possui duas raizes de modulo 1, uma raiz de modulo menor que 1 e uma raiz de modulo maior que 1.

III - Se n  N* e "r" eh uma raiz qualquer desta equacao, entao SOMÁTORIO[i=1 a n](|r/3|)^k < 1/2

eh (sao) verdadeira(s):          

(A) nenhuma
(B) apenas I.
(C) apenas II.
(D) apenas III.
(E) apenas I e III.



2) (ITA - 1993) - Sabendo-se que a equacao de coeficientes reais, x6 - (a+b+c)x5 + 6x4 - 3cx2 + 6x - 1 = 0 eh uma equacao reciproca de segunda classe, então o número de raizes reais desta equacao eh:          


(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 6