Boa tarde a todos. Diversas vezes eu vi a seguinte afirmacao, mas nunca vi a demosnstracao:
Se (a_n) eh uma seqüência de números reais não negativos, entao lim inf (a(n+1)/a(n)) <= lim inf (a(n)^(1/n) <= lim sup (a(n)^(1/n) <= lim sup (a(n+1)//(a(n)). (A desigualdade do meio vale, eh claro, para toda seqüência de números reais)
Vou apresentar minha propria prova. – esperando que esteja certa. Inicialmente, vamos provar que lim sup (a(n)^(1/n) <= lim sup (a(n+1)/a(n).
Seja L = <= lim sup (a(n+1)/a(n). Para todo p>L, existe entao um natural k (dependente de p) tal que a(n+1)/a(n) < p para todo n>=k. Temos entao que
a(k+1) < p * a(k); a(k+2) < p* a(k+1) < p^2 * a(k)....De modo geral, temos a(n) < p^(n-k) * a(k) = (p^n)/(p^k) * a(k) = M *p^n, para n>=k+1 e sendo M= a(k)/p^k. ...... Logo, a(n)^(1/n) < p* M^(1/n), também para n>= k+1. Com possível exceção de um numero finito de termos (os k primeiros), esta desigualdade vale para todos os termos das duas seqüências que aparecem na ultima desigualdade. Logo, lim sup a(n)^(1/n) <= lim sup p* M^(1/n).
Como M eh independente de n, a seqüência do membro direito desta ultima desigualdade converge para p, pois lim M^(1/n) = 1. Logo lim sup (p * M^(1/n)). = lim (p * M)^(1/n)) = p, do que concluímos que lim sup (a(n)^(1/n) <= p. Como esta desigualdade vale para todo p>L, temos entao, necessariamente, que lim sup (a(n)^(1/n) <= L lim sup (a(n+1)/a(n).
Através de um raciocínio análogo, provamos que lim inf (a(n+1)/a(n)) <= lim inf (a(n)^(1/n).
Como corolário, temos que (a(n+1)/a(n) for convergente, entao lim (a(n+1)/a(n) = lim (a(n)^(1/n).
Estas conclusões são muito usadas nos testes da raiz e da razão para convergência absoluta de series O teste da razão eh mais conclusivo, pois Soma (|a(n)|) pode convergir e, entretanto, termos lim sup (|a(n+1)|/|a(n)| ) >1.
Abraços
Artur