[obm-l] Re: [obm-l] PARADOXO DE S�O PETERSBURGO

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jan 16, 2004 at 08:13:41PM -0300, jorgeluis@edu.unifor.br wrote:
> Turma! a t�tulo de curiosidade, vale salientar que no s�culo XVIII, os mais
> eminentes probabilistas franceses, numa correspond�ncia trocada entre S.
> Petersburgo e Paris, enunciaram e estudaram de forma aprofundada o problema:
> 
> Pedro e Paulo combinam disputar, com as conven��es abaixo, uma s�rie de
> partidas de cara ou coroa ou de um jogo an�logo em que ambos os parceiros
> possuem iguais possibilidades. Se Pedro ganhar a primeira partida, Paulo lhe
> pagar� 2 francos e o jogo acabar�. Se Pedro perder a primeira e vencer a
> segunda, Paulo lhe pagar� 4 francos e o jogo terminar�...; se Pedro perder as
> n-1 primeiras partidas e ganhar a n-�sima, Paulo lhe dar� em francos 2
> elevado a n-�sima pot�ncia e o jogo acabar�. O problema consiste em
> determinar qual deve ser a parada de Pedro, isto �, a soma que ele ter� de
> pagar a Paulo, antes de come�ar o jogo,em troca das promessas que lhe s�o
> feitas.
> 
> NOTA: O resultado paradoxal � que esta parada dever� ser infinita; em outros
> termos, qualquer que seja a parada fixa que lhe f�r exigida, o partido de
> Pedro � vantajoso, isto �, Pedro poder� revender mais caro, antes de iniciar
> o jogo, as promessas que recebeu.

Eu pelo menos n�o acho isso t�o paradoxal assim. Pedro estaria sendo ing�nuo
se ele acreditasse que uma promessa destas iria ser honrada. Ser� que ele acha
mesmo que se ele perder 50 partidas e ganhar a de n�mero 51 ele algum dia
vai ver a cor dos 2^51 francos que Paulo deveria pagar?!

Se voc� colocar um pr�mio m�ximo que o Paulo *vai* pagar (ou seja, que ele
tem como pagar) e reconhecer que acima disso melou tudo, o Paulo paga apenas
o valor m�ximo mesmo, o valor fica sendo finito e o paradoxo desaparece.

Por exemplo, se Paulo pagar no m�ximo 2^20 francos o valor esperado do
pagamento de Paulo ser� 2/2 + 4/4 + ... + 2^20/2^20 + 2^20/2^20 = 21 francos.
Note que 2^20 � aproximadamente um milh�o. Se Paulo puder pagar at� 2^30
francos (pouco mais de um bilh�o), o valor esperado fica sendo 31 francos.
Acima disso fica muito irreal (e note que o valor esperado sobe como o log
do valor m�ximo que Paulo paga, ou seja, muito devagar).

Ou seja, eu n�o recomendaria que Pedro pagasse mais do que 20 ou estourando
30 francos por esta aposta. Provavelmente at� 20 � acreditar demais na palavra
do Paulo.

[]s, N.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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