Re: [obm-l] Credo!!!

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

Eduardo Henrique Leitner wrote:
> limite, pra x tendendo a zero dessa expressão:
>    {[(1^x) + (2^x) + (3^x) + ... + (n^x)]/(n)}^(1/x)
> adoraria que alguém me ajudasse... a resposta é 
>  (n!)^(1/n)

	Eu acho que consegui:

	Seja a(i)=i^x. A média aritmética de todos os a(i)
é aquilo que está dentro das chaves. Mas sabemos que AM>=GM,
com igualdade apenas quando todos os termos são iguais.

	Mas, no limite pra x tendendo a zero, todos os a(i)
tendem a 1 e portanto todos tendem a ficar iguais. Por isso,
AM=GM no limite para x indo a 0. Daí tiramos que:

	AM^(1/x)=GM^(1/x)

	GM= { produtorio de a(i) } ^(1/n)
  	  = {1^x . 2^x . ... n^x} ^(1/n)
	  = {(n!)^x}^(1/n)= {(n!)^(1/n)}^x

	Logo AM^(1/x)=GM^(1/x)={(n!)^(1/n)}^x^(1/x)=(n!)^(1/n)
e o limite pra x indo a zero é (n!)^(1/n).

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br           "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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