Re: [obm-l] Enrolado com cardinalidades

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

Isso é verdade, mas não vejo a ligação com o teorema pois Z ! = P(N) (ainda 
mais forte, #(P(N)) != #(Z) )
Alias, nós sabemos que #(P(N)) = #(R)

At 02:38 PM 1/10/2004, you wrote:
>lembre que os naturais estão contidos nos inteiros e nem por isso eles tem
>cardinalidades diferentes :-)
>
>Will
>----- Original Message -----
>From: "André Martin Timpanaro" <andre_math@hotmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Saturday, January 10, 2004 11:51 AM
>Subject: [obm-l] Enrolado com cardinalidades
>
>
>Estou com uma dúvida quanto a prova da afirmação abaixo:
>
>-Dado um conjunto C, a cardinalidade do conjunto P de todos os subconjuntos
>de C é sempre maior que a cardinalidade de C.
>
>PROVA: Se C é um conjunto finito de cardinalidade n, então P tem
>cardinalidade 2^n. E 2^n>n para todo n>=0.
>
>Suponha agora que C seja infinito, C tem a mesma cardinalidade que o
>subconjunto de P que contém todos os subconjuntos unitários de C e portanto
>a cardinalidade de C é menor ou igual a cardinalidade de P.
>
>Suponha por absurdo que exista uma bijeção entre C e P. Seja M um conjunto
>com a seguinte propriedade, se x é um elemento de C e a bijeção associa a x
>um conjunto ao qual x não pertence, então x pertence a M, do contrário, x
>não pertence a M. Então por essa definição, M é subconjunto de C e essa
>bijeção deve associar um elemento y de C ao conjunto M.
>Mas suponha que y pertence a M. Então, por definição, y não pertence a M
>pois senão y estaria associado a um conjunto ao qual ele pertence e
>pertenceria a M ao mesmo tempo. Mas se y não pertence a M, ele está
>associado com um conjunto ao qual ele não pertence e ao mesmo pertence a C,
>logo por definição deve pertencer a M. Então o fato de M ter algum elemento
>associado a ele (qualquer elemento) é contraditório e logo M não está
>associado a nenhum elemento de C. Absurdo!
>
>Logo as cardinalidades de C e P são diferentes e portanto a cardinalidade de
>P é maior que a de C.
>CQD.
>
>-A minha dúvida é a seguinte: Ele não deveria considerar a possibilidade de
>que M pertencesse a P antes de começar a construir M?
>
>Encontrei a prova no livro abaixo e ela era atribuida a Georg Cantor:
>"The Art of Infinity"
>
>
>André T.
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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