Re: [obm-l] congru�ncias

[Eduardo Henrique Leitner <ehl@xxxxxxxxxxxxxx>]

se esse (mod 15) for o que eu estou pensando acho que dah pra resolver assim:

n^5 = n (mod 15)
n^5 - n = 0 (mod 15)

logo, basta provar que n^5 - n  � m�ltiplo de 15

jah foi resolvido um exercihcio nessa lista que dizia mais ou menos assim:

prove que n^5 - n � m�ltiplo de 30

bom, se eh multiplo de 30 entao eh multiplo de 15 neh, mas vamos lah

n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) =
= n(n+1)(n-1)(n^2 + 1)

pelo termo n(n+1)(n-1) podemos dizer que � um m�ltiplo de 3, agora soh falta proar que � m�ltiplo de 5

bem, sabemos que (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) � multiplo de 5

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n-1)(n^2 - 4) 
se n(n+1)(n-1)(n^2 - 4) � m�ltiplo de 5, somar 5 a um de seus termos nao vai mante-lo multiplo de 5, entao n(n+1)(n-1)(n^2 + 1) � multiplo de 5

provado intaum... =)

On Mon, Dec 29, 2003 at 06:36:43PM -0300, Jefferson Franca wrote:
> Ser� q algu�m poderia dar uma m�o com a quest�o:Prove q para um natural n , tem-se que n^5 congruente n ( mod 15)
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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