Uma demonstracao conhecida usa a chamada parametrizacao racional da circunferencia unitaria. Basicamente, consiste na analise da interseccao da reta passando por (-1,0) e inclinacao t (portanto, y = t(x+1)) com a circunferencia x^2 + y^2 = 1. A chave da demonstracao eh a observacao de que a cada valor racional de t corresponde um ponto de coordenadas racionais da circunferencia e vice-versa (exceto pelo ponto (-1,0)).
Espero que com a dica acima voce consiga completar a demonstracao.
Um abraco,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Fri, 19 Dec 2003 15:22:57 -0400 |
| Assunto: |
[obm-l] Números Pitagóricos |
> No livro: Episódios da História Antiga da Matemática, de Asger Aaboe,
> traduzido por João Pitomberia de Carvalho, SBM, há em sua pág.32 o seguinte
> teorema:
> Se p e q tomam todos os valores inteiros, restritos somente pelas
>
> seguintes condições:
>
> 1) p > q > 0;
> 2) p e q não possuem divisor comum (distinto de 1) e
> 3) p e q não são ambos ímpares.
>
>
> Então as expressões: x=p^2 ? q^2; y=2pq e z=p^2 + q^2 fornecerão
>
> todos os ternos pitagóricos reduzidos, e cada terno somente uma vez.
>
> Pergunto: Como demonstrar tal teorema?
>
> Nas notas de rodapé, há afirmação que uma demonstração para tal
>
> teorema está em H.Rademacher e O.Toeplitz, secção 14, p.88, porém, não
>
> tenho tal livro.
>
> Assim, solicito, por obséquio, uma demonstração.
>
> ATT. João Carlos
>
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
>