Re: [obm-l] Números quase perfeitos!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Números quase perfeitos!

on 17.12.03 00:29, Erasmo de Souza Dias at erasmomat@yahoo.com.br wrote:

>          Olá pessoal. Vamos ao trabalho. 
>             
>          * Um número natural n é dito quase perfeito se f(n)=2n-1, onde f(n) é a soma dos divisores de n. Ou seja f é a função sigma. Seja n mod k o resto da divisão de n por k. Considere s(n) o somatório em k variando de 0 a n de n mod k. Mostre que n é quase perfeito se, e somente se, s(n) = s(n-1).
>
> Imagino que s(n) seja SOMA(1<=k<=n) (n mod k), pois (n mod 0) nao faz sentido.
>
> n mod k = 0 <==> n = q*k <==> n-1 = (q-1)*k + (k-1) <==> n-1 mod k = k-1.
>
> n mod k = r > 0 <==> n = q*k + r <==> n-1 = q*k + (r-1) <==> n-1 mod k = r-1 = 
> (n mod k) - 1.
>
> Assim: 
> k | n  ==>  (n mod k) - (n-1 mod k) = 0 - (k-1) = 1-k
> e
> k nao | n <==> (n mod k) - (n-1 mod k) = 1
>
> Logo:
> s(n) - s(n-1) = 
> SOMA(1<=k<=n) (n mod k)  -  SOMA(1<=k<=n-1) (n-1 mod k) =
> SOMA(1<=k<=n-1) ((n mod k ) - (n-1 mod k))  +  (n mod n) =
> SOMA(1<=k<=n-1) ((n mod k ) - (n-1 mod k))  +  0 = 
> SOMA(1<=k<=n-1 ; k | n) (1-k)  +  SOMA(1<=k<=n-1 ; k nao | n) (1) =
> SOMA(1<=k<=n-1) (1)  -  SOMA(1<=k<=n-1 ; k | n) (k) =
> (n - 1)  -  (f(n) - n) =
> (2n-1) - f(n).
>
> Portanto, s(n) = s(n-1) <==> f(n) = 2n-1.
>
>
> Um abraco,
> Claudio.