Oi Domingos. Acho que fica mais facil raciocinar por contraposicao. Se S nao
contiver um subconjunto denso, entao ou S se reduz a um unico elemento -
sendo portanto numeravel - ou entao, para cada x em S, existe y em S tal que
entre x e y nao a hah qualquer elemento de S. Quer dizer, cada elemento de S
esta "esprimido" entre dois intervalos abertos (eventualmente com um dos
pontos extremos em - inf ou + inf) contidos no complemento de S.
oi Arthur,
Desta
condicao decorre automaticamente que, para todo x de S, podemos escolher um
eps>0 suficientemente pequeno tal que o unico elemento de S em (x-eps,
x+eps) seja o proprio x. Todo elemento de S possui portanto uma vizinhanca
que contem apenas um elemento de S. Vale dizer que nenhum elemento de S eh
ponto de acumulacao do mesmo e, menos ainda, ponto de condensacao (Dizemos
que x e ponto de condensacao de S se toda vizinhanca de x contiver
incontavelmente muitos (expressao tirada do Inglês - uncountably many - nao
me ocorreu uma melhor) elementos de S). Como R eh separavel, subconjuntos de
R que nao possuam pontos de condensacao sao automaticamente numeraveis.
Logo, S eh numeravel.
Acho que podemos ver isto sem o conceito de ponto de condensacao. Vimos que
cada x de S estah contido em um intervalo aberto I_x que nao contem nenhum
outro elemento de S. Tomemos a colecao {I'_x}, onde cada I'_x tem centro em
x e raio igual aa metade do raio p de I_x. Podemos assim garantir que
{I'_x} eh uma colecao de intervalos disjuntos dois a dois e que cobre S. Hah
portanto uma bijecao enter S e {I'_x}. Escolhendo-se em cada I'_x um
racional, vemos que hah uma bijecao entre {I'_x} e um subconjunto dos
racionais. Logo, {I'_x} eh numeravel e, portanto, S tambem eh.
Observemos que podemos escolher este racional construtivamente, sem recorrer
ao Axioma da Escolha. Enumeremos os racionais, por exemplo, por aquele
classico processo em diagonal, e, na sequencia obtida, escolhamos I'_x assim
que um racional cair nele.
Espero que esteja certo.
Artur
Gostaria de provar o seguinte resultado:
Seja S um conjunto de reais não-enumerável, existe um subconjunto T de S
que
é denso (ie: para todo x < y em T existe z em T com x < z < y).
Obrigado.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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