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Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs.densos
Title: Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos
on 16.12.03 00:52, Pedro Antonio Santoro Salomao at ssalomao@zaz.com.br wrote:
Claudio Buffara wrote:
on 15.12.03 22:27, Domingos Jr. at dopikas@uol.com.br wrote:
Olá!
Gostaria de provar o seguinte resultado:
Seja S um conjunto de reais não-enumerável, existe um subconjunto T de S que
é denso (ie: para todo x < y em T existe z em T com x < z < y).
Obrigado.
Oi, Domingos.
O que voce acha disso aqui?
Se nenhum subconjunto de S for denso, entao para cada x de S existirah y tal
que o intervalo aberto (x,y) nao contem nenhum ponto de S. Assim, poderemos
expressar o complemento R - S como uma uniao de intervalos abertos disjuntos
dois a dois e cujas extremidades sao pontos de S. Alem disso, existirah uma
bijecao F entre S e o conjunto A cujos elementos sao esses intervalos, dada
por F(x) = intervalo cujo infimo eh x.
Oi Claudio,
Tambem estava pensando nesse problema. Nao entendi bem sua solucao mas considere S o conjunto formado pelos numeros 0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 etc. Esse conjunto nao tem nenhum subconjunto denso e voce nao consegue encontrar um numero diferente de zero em S tal que (0,a) nao contenha nenhum ponto de A.
*** OK, mas nesse caso, R - S = (-inf,0) U (1,+inf) U Uniao(n>=0) (1/2^(n+1),1/2^n) = uniao enumeravel de intervalos abertos dois a dois disjuntos. Nesse caso, o conjunto A seria {(-inf,0); (1,+inf); (1/2,1); (1/4,1/2); (1/8,1/4); ...}.
Entretanto, a funcao F acima nao estah bem definida, pois (-inf,0) nao eh imagem de nenhum elemento de S. Mas isso eh facil de corrigir. Em geral, se A contiver um intervalo ilimitado inferiormente, escolhemos "a" pertencente a R - S (se R - S = vazio, entao S = R eh claramente denso) e definimos F: S U {a} -> A por: F(a) = o tal intervalo ilimitado e, para x em S, F(x) = intervalo cujo infimo eh x.
A minha demonstracao baseia-se no fato de que, se nenhum subconjunto de S eh denso, entao, em particular, S nao eh denso ==> R - S = uniao enumeravel de intervalos abertos disjuntos dois a dois.
Acho que no problema que o Domingos propos, uma parte importante e' mostrar que voce consegue encontrar um ponto x de S que divide o conjunto S em dois subconjuntos nao enumeraveis: os pontos de S que estao a esquerda de x e os pontos de S que estao a direita de x. (diremos que x tem a propriedade *)
Se voce conseguir fazer isso para qualquer conjunto nao enumeravel, entao a demonstracao afirmativa nao fica muito dificil:
1) Voce sabe que em algum intervalo K=[k,k+1], onde k e' um inteiro, S inter K e' nao enumeravel pois caso contrario S seria a uniao enumeravel de conjuntos enumeraveis, que e' enumeravel, contradicao.
2) Podemos supor que esse intervalo e' [0,1]. Comecamos com x0 contido em (0,1) que tem a propriedade * em (0,1).
3) Agora temos 2 conjuntos [0,x0] e [x0,1] onde S e' nao enumeravel neles dois.
4) Encontramos entao x1 e x2 que tem a propriedade * em (0,x0) e (x0,1) respectivamente.
5) Agora temos os conjuntos [0,x1], [x1,x0], [x0,x2] e [x2,1] onde S e' nao enumeravel em cada um deles.
6) Continuamos o processo analogamente em cada um dos novos intervalos obtidos no passo anterior.
A uniao desses x_i's sera densa e ai termina a demonstracao.
(estou pensando na definicao de densa dada pelo Domingos)
Construimos quase um conjunto de Cantor.
Fica so faltando mostrar a propriedade *. Talvez isso seja um pouco mais dificil.
Suponha que no intervalo [0,1], onde S e' nao enumeravel, sempre que escolhemos um ponto z de S, a parte nao enumeravel de S em [0,1] esta ou a esquerda ou a diretia de z, nunca dos dois lados simultaneamente. Entao S inter [0,1] e' a uniao disjunta de E e D, que tem a propriedades. da esquerda e direita, como acima.
Seja m = infimo de E e M = supremo de D
Se E e' vazio entao defina m = M e se D e' vazio, defina M = m. Ambos nao podem ser vazios, pois S e' nao enumeravel em [0,1].
Temos M <= m. Isso e' facil mostrar.
Temos:
S deve ser enumeravel no intervalo [m,1]. Se nao fosse poderiamos, atraves de um homeomorfismo, levar (m,1) em (-infinito, infinito) e encontrariamos um intervalo [k,k+1] on de S seria nao enumeravel, o que seria uma contradicao pela definicao de E.
S deve ser enumeravel no intervalo [0,M] tambem pelo mesmo motivo.
Nao existem pontos de S em (M,m) pela propria construcao de E e D.
Logo S e' enumeravel em [0,1].
Isso e' uma contradicao ja que S era nao enumeravel em [0,1].
Isso prova a propriedade * em qualquer intervalo [a,b] e com isso termina totalmente a demonstracao.
Para mim, ainda existem algumas partes um pouco estranhas, mas o problema nao parece ser muito simples. Talvez tenha uma solucao muito mais simples que eu nao estou vendo ou talvez mesmo essa solucao tenha algum erro.
Nao cheguei a acompanhar todos os detalhes da sua solucao, mas se estiver certa, parece bem mais simples que a minha.
Um abraco.
Pedro.
Mas qualquer conjunto A de intervalos abertos disjuntos dois a dois eh
enumeravel. Para ver isso, defina uma funcao G: A -> Q dada por G(I) =
fracao irredutivel pertencente a I com o menor denominador (isso assume que
Q = { m/n | m eh inteiro e n eh inteiro positivo}). Se existir mais de uma,
escolha a de menor valor absoluto. E se, mesmo assim, existirem duas (p/q e
-p/q), escolha a positiva. Entao, G eh uma funcao injetiva de A em Q. Como Q
eh enumeravel, A tambem serah.
Isso quer dizer que S eh enumeravel (a funcao GoF: S -> Q eh injetiva) ==>
contradicao ==>
algum subconjunto de S tem que ser denso.
Serah que tah certo?
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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