Re: [obm-l] MDC de Impares

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

Carlos Maçaranduba wrote:

>  Como provo que , dado a e b tais que a e b impares
> positivos e a > b, sendo d = mdc(a,b) , entao d tambem
> poderá ser 
> d = mdc(a - b , b)????

	Se d=mdc(a,b), então a=Ad e b=Bd, e mdc(A,B)=1.

	Logo mdc(a-b,b)=mdc(Ad-Bd,Bd)=d.mdc(A-B,B)

	Vamos agora por contradição:
	Suponha que mdc(A-B,B)=k, com k diferente de 1.

	Então A-B=rk e B=sk. Mas isso implica em

	A=rk+B=rk+sk=(r+s)k. Logo k é fator comum de A e B,
portanto mdc(A,B)=k, o que contradiz a hipótese de mdc(A,B)=1.
Logo mdc(A-B,B)=1 e com isso concluímos que mdc(a-b,b)=d.1=d

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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