[obm-l] Outra sequencia sem densidade

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Duda (e demais colegas):

Encontrei outra sequencia crescente de inteiros positivos que nao tem
densidade bem definida:

b(n) = n-esimo inteiro positivo cujo algarismo da esquerda (base 10) eh
igual a 1.
Assim, a sequencia eh:
1, 
10, 11, ..., 19, 
100, 101, ..., 199,
1000, 1001, ..., 1999,
10000, 10001, ..., 19999,
100000, ...

Na lista acima, teremos:
Linha 1: b(1)
Linha 2: b(2) - b(11)
Linha 3: b(12) - b(111)
Linha 4: b(112) - b(1111)
...

O primeiro elemento da linha k eh:
b((10^(k-1)-1)/9+1) = 10^(k-1)

O ultimo elemento da linha k eh:
b((10^k-1)/9) = 2*10^(k-1) - 1

Assim, a sequencia b(n)/n tem uma subsequencia da forma:
b1(k) = 10^(k-1)/((10^(k-1) - 1)/9 + 1), convergindo para 9,

e tambem uma subsequencia da forma:
b2(k) = (2*10^(k-1) - 1)/((10^k - 1)/9), convergindo para 9/5.
 
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Soh pra complementar:
Dada uma sequencia crescente (a(n)) de inteiros positivos, se definirmos a
sequencia (A(m)) como sendo A(m) = numero de termos da sequencia (a(n)) que
sao <= m, teremos:
A(a(n)) = numero de termos de (a(n)) menores ou iguais a a(n) = n, ou seja,
a sequencia (A(m)) eh uma inversa a esquerda da sequencia (a(n)).

Assim, se (a(n)) tem densidade definida, digamos igual a d, entao:
d = lim A(m)/m = lim A(a(n))/a(n) = lim n/a(n).
Reciprocamente, se lim n/a(n) existe eh eh igual a d, entao (a(n)) tem
densidade igual a d.
 
Repare que a(A(m)) = A(m)-esimo termo de (a(n)) = termo de (a(n)) cuja ordem
eh igual ao numero de termos de (a(n)) menores ou iguais a m.
Isso quer dizer que a(A(m)) = maior termo de (a(n)) que eh menor ou igual a
m. Infelizmente, (A(m)) nao eh, em geral, uma inversa a direita de (a(n)).
Naturalmente, se (a(n)) tiver um termo igual a m, entao a(A(m)) = m.

 
Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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